78. Степенно-показательные выражения.

Рассмотрим теперь степенно-показательное выражение где и являются функциями от одной и той же переменной х, с областью изменения имеющей точку сгущения в частности, это могут быть две варианты

Пусть существуют конечные пределы:

причем Требуется найти предел выражения

Представим его в виде

Функции и и имеют пределы

(здесь использована непрерывность логарифмической функции), так что

Отсюда - по непрерьгоности показательной функции - окончательно:

Предел выражения можно установить и в других случаях, когда известен предел с произведения - конечный или бесконечный. При конечном с искомый предел будет, очевидно, если же или то этот предел, соответственно, будет 0 или [54, 1)].

Самое же определение предела - лишь по заданным пределам а и - возможно всегда, кроме случаев, когда это произведение представляет неопределенность вида Легко сообразить, что исключительные случаи отвечают таким комбинациям значений а и

В этих случаях говорят, что выражение и” представляет неопределенность вида (смотря по случаю). Для решения вопроса о пределе выражения и здесь мало знать лишь пределы функций и и а нужно непосредственно учесть закон, по которому они стремятся к своим пределам.

Варианта при или более общее выражение при имеющие пределом дают пример неопределенности вида . Выше, в 77, 4), мы рассматривали варианту представляющую неопределенность вида 0°. Наконец, в 32, 10), выражение тоже было неопределенным - вида Приведем еще несколько примеров на раскрытие неопределенностей новых видов.