35. Примеры.

1) Рассмотрим варианту (считая

где . (Она при с представляет неопределенность вида — Так как

то, лишь только переменная становится убывающей; в то же время снизу она ограничена, например, нулем. Следовательно, варианта - по теореме имеет конечный предел, который мы обозначим через а.

Для того чтобы найти его, перейдем к пределу в написанном выше равенстве; так как пробегает ту же последовательность значений, что и (с точностью до первого члена) и имеет тот же предел а, то мы получим

отсюда и, окончательно,

2) Считая снова определим теперь варианту

и вообще

пкорней

Таким образом, получается из по формуле

Ясно, что варианта монотонно возрастает. В то же время она ограничена сверху, например, числом Действительно, меньше этого числа; если допустить теперь, что какое-либо значение то и для следующего значения получаем

Таким образом, наше утверждение оправдывается по методу математической индукции.

По основной теореме, варианта имеет некий конечный предел а. Для определения его перейдем к пределу в равенстве

мы получим, таким образом, что а удовлетворяет квадратному уравнению

Уравнение это имеет корни разных знаков; но интересующий нас предел а не может быть отрицательным, следовательно, равен именно положительному корню;

3) Взяв любое определим варианту рекуррентным соотношением

Допустив, что (это условие для выполнено), установим, что

Действительно, так как , то но откуда . Таким образом, индуктивно доказано, что варианта монотонно возрастая, остается меньше единицы; следовательно, она имеет конечный предел Переходя к пределу в рекуррентном соотношении, найдем, что Итак,

Предоставляем читателю самому разобраться в том, что произойдет, если взять вне промежутка (0, 1).

Замечание. Пусть с - любое положительное число, и положим суп Написанное выше рекуррентное соотношение заменится таким;

Взяв начальное значение под условием: получим, что монотонно возрастая, будет стремиться к По этой схеме на счетных машинах и вычисляется число, обратное с.

4) Пусть даны два положительных числа (а Составим их среднее арифметическое и среднее геометрическое:

Известно, что первое среднее больше второго в то же время оба они содержатся между исходными числами:

Для чисел в] и снова составим их оба средних:

причем

и т. д. Если числа уже определены, то определяются по формулам

и, как и выше,

Таким образом составляются две варианты из которых первая оказывается убывающей, а вторая - возрастающей (навстречу одна другой). В то же время

так что обе варианты ограничены и, следовательно, обе стремятся к конечным пределам:

Если в равенстве

перейти к пределу, то получим

Таким образом, обе последовательности - и средних арифметических и средних геометрических — стремятся к общему пределу следуя Гауссу (С. F. Gauss), его называют средним арифметико-геометрическим исходных чисел а и Выражение числа через эти последние покуда нам недоступно - для него требуется так называемый эллиптический интеграл (см. второй том).

5) Отправляясь снова от двух положительных чисел а и на этот раз станем последовательно составлять средние арифметические и средние гармонические

Из известного уже нам неравенства (при ) получаем:

так что среднее арифметическое больше среднего гармонического; к тому же оба средних содержатся между исходными числами. Применяя это к найдем:

Совершенно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере, убедимся в том, что обе варианты стремятся к общему пределу с, который можно было бы назвать средним арифметико-гармоническим чисел а и

Однако, здесь предел с имеет простое выражение через а и Именно, видим, что так как, аналогично, и то заключаем, что при всех значениях

Переходя здесь к пределу, получаем

т. е. среднее арифметико-гармоническое двух чисел попросту есть их среднее геометрическое.

6) Наконец, приведем более сложный пример.

Исходя из некоторого вещественного числа с, положим , а последующие значения варианты определим индуктивно формулой

Исследуем вопрос о пределе этой варианты при двух различных предположениях относительно с.

Заметим, что, если бы мы наперед знали, что существует конечный предел

то найти его не составило бы труда. Стоит лишь перейти к пределу в равенстве (1), определяющем нашу варианту, чтобы получить

Из этого квадратного уравнения находим

Отсюда сразу видно, что варианта заведомо не может иметь конечного предела при

(а) Предположим сначала, что Тогда ясно, что Вычитая из (1) почленно аналогичное равенство

найдем, что

Очевидно, а из предыдущего равенства следует, что, лишь только тотчас же и Таким образом, по методу математической индукции устанавливается факт монотонного возрастания варианты

Аналогично доказывается ограниченность (сверху) нашей варианты:

Это неравенство очевидно для если же оно соблюдается при каком-нибудь значении то будет верно и для — в силу (1). Значит, предел (2) действительно существует, а тогда он выражается формулой (3), и именно со знаком минус при корне, так как предел этот не может быть больше единицы, б) Пусть теперь - Очевидно, для всех

Покажем, что в этом случае . Это верно при если же допустить справедливость этого утверждения для какого-либо значения то

будет иметь знак , т. е. будет отрицательным, ч. и тр. д.

На этот раз варианта не будет монотонной. Однако, если положить в а затем и в обоих случаях почленно вычесть, то получим:

Отсюда можно индуктивно заключить, что всегда

Действительно, тогда и по второй из формул (4) будет Следовательно, и по первой из формул (4) (при получится

Таким образом, в рассматриваемом случае, монотонными будут порознь взятые варианты и так как они содержатся между конечными границами и 0, то обе имеют конечные пределы

Остается показать, что . С этой целью устремим значок в (1) к бесконечности, сначала через четные значения, а затем - через нечетные. Мы получим в пределе два соотношения:

Вычитая, исключим с:

Как мы установим сейчас, если вторые скобки обратиться в 0 не могут, так что необходимо Действительно, в противном случае, подставляя во второе из соотношений (5), мы получили бы для а квадратное уравнение

которое, именно при с вещественных корней иметь не может.

Наконец, если вторые скобки обращаются в 0 одновременно с первыми, ибо в этом случае и

Итак, во всех случаях Обозначив общее значение этих пределов через а, имеем для а выражение (3), очевидно, снова со знаком минус при корне, ибо предел отрицательной варианты не может быть положительным.

Изложенные примеры дают повод к следующему замечанию. Доказанная теорема является типичной «теоремой существования»: в ней устанавливается факт существования предела, но не дается никакого приема для его

вычисления. Тем не менее она имеет очень важное значение. С одной стороны, в теоретических вопросах часто только существование предела представляется нужным. С другой же стороны, во многих случаях возможность предварительно удостовериться в существовании предела важна тем, что открывает пути для его фактического вычисления. Так, в примерах 1), 2), 3), 5), 6) именно знание факта существования предела позволило, с помощью перехода к пределу в некоторых равенствах, установить точное значение предела.

В этом отношении особенно поучителен пример Ведь при с выражение (3) сохраняет смысл, но это вовсе не означает, что оно продолжает давать предел варианты напротив, он здесь не существует: например, как нетрудно проверить, при наша варианта пробегает последовательность значений:

и никакого предела не имеет.

В примере 4) мы выражения для предела не имеем, но, зная что он существует, легко можем вычислить его с любой степенью точности, ибо он содержится между вариантами которые к нему стремятся с обеих сторон.

В следующем п° мы познакомимся с еще одним важным примером приложения теоремы о монотонной варианте.