104. Связь между диффереицируемостью и существованием производной.

Легко установить теперь справедливость следующего утверждения:

Для того чтобы функция в точке была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы для нее в этой точке существовала конечная производная При выполнении этого условия равенство (1) имеет место при значении постоянной А, равном именно этой производной:

Необходимость. Если выполняется (1), то отсюда

так что, устремляя к 0, действительно, получаем

Достаточность сразу вытекает из 96, 1° [см. там (За)].

Итак, дифференциал функции всегда равен

Подчеркнем здесь же, что под в этом выражении мы разумеем произвольное приращение независимой переменной, т. е. произвольное число (которое часто удобно бывает считать не зависящим от х). При этом вовсе не обязательно предполагать бесконечно малой; но если то дифференциал также будет бесконечно малой, и именно (при ) - главной частью

бесконечно малого приращения функции Это и дает основание приближенно полагать

с тем большей точностью, чем меньше Мы вернемся к рассмотрению приближенного равенства (3) в 107.

Чтобы истолковать геометрически дифференциал и его связь с приращением функции рассмотрим график этой функции (рис. 44). Значением х аргумента и у функции определится точка М на кривой. Проведем в этой точке кривой касательную как мы уже видели [92], ее угловой коэффициент, равен производной у. Если абсциссе х придать приращение то ордината кривой у получит приращение . В то же время ордината касательной получит приращение Вычисляя как катет прямоугольного треугольника найдем:

Рис. 44.

Итак, в то время как есть приращение ординаты кривой, является соответственным приращением ординаты касательной.

В заключение остановимся на самой независимой переменной х: ее дифференциалом называют именно приращение , т. е. условно полагают

Если отождествить дифференциал независимой переменной х с дифференциалом функции (в этом - тоже своего рода соглашение!), то формулу (4) можно и доказать, ссылаясь на (2):

Учитывая соглашение (4), можно теперь переписать формулу (2), дающую определение дифференциала, в виде

- так ее обычно и пишут.

Отсюда получается

так что выражение, которое мы раньше рассматривали как цельный символ, теперь можно трактовать как дробь. То обстоятельство, что слева здесь стоит вполне определенное число, в то время

как справа мы имеем отношение двух неопределенных чисел произвольно), не должно смущать читателя: числа изменяются пропорционально, причем производная как раз является коэффициентом пропорциональности.

Понятие дифференциала и самый термин «дифференциал» принадлежат Лейбницу, который не дал, однако, точного определения этого понятия. Наряду с дифференциалами, Лейбниц рассматривал и «дифференциальные частные», т. е. частные двух дифференциалов, что равносильно нашим производным; однако именно дифференциал был для Лейбница первоначальным понятием. Со времени Коши, который своей теорией пределов создал фундамент для всего анализа и впервые отчетливо определил производную как предел, стало обычным отправляться именно от производной, а понятие дифференциала строить уже на основе производной.