231. Примеры.

1) Парабола: . Дифференцируя это равенство (считая у функцией от получим

Таким образом [см. (3)], поднормаль параболы есть постоянная величина.

Отсюда вытекает простой способ построения нормали (а с ней и касательной) к параболе. По формуле (4), для отрезка нормали к параболе имеем выражение

2) Эллипс: (рис. 132). По формуле (5) имеем такое уравнение касательной:

Учитывая само уравнение эллипса, можно последнее уравнение переписать в более простом виде

Полагая здесь найдем Таким образом, точка Т пересечения касательной с осью х не зависит ни от у, ни от . Касательные к различным эллипсам, отвечающим различным значениям в их точках, имеющих абсциссу х, все проходят через одну и ту же точку Г на оси х. Так как при получается окружность, для которой касательная строится просто, то точка Т сразу определяется, и это приводит к простому способу построения касательной к эллипсу, ясному из рис. 132.

Легко определить длину отрезка нормали для эллипса:

Такое же выражение получается и в случае гиперболы .

3) Астроида: (рис. 116). Уравнение касательной

с помощью самого уравнения кривой может быть преобразовано к виду

Последнее уравнение есть «уравнение в отрезках». Следовательно, касательная отсекает на осях отрезки . Отсюда легко получить одно интересное свойство астроиды. Обозначив через длину отрезка касательной между осями, имеем

и

Таким образом, оси симметрии астроиды на всех касательных отсекают равные отрезки.

4) Циклоида:

(рис.

Мы имели уже [в 225, 6)] равенство , т. е.

и можно принять

Вспомним (рис. 118), что так что Если продолжить прямую до пересечения в Т с осью х, то Следовательно, прямая соединяющая точку циклоиды с высшей точкой катящегося круга (в соответствующем положении), и будет касательной. Отсюда ясно, что прямая будет нормалью.

Впоследствии нам полезно будет выражение для отрезка и нормали, которое легко получить из прямоугольного треугольника Именно,

5) Эпициклоида:

(рис. 119).

Написав выражения для производных в виде

найдем, что

Отсюда

Если соединить (рис. 119) точку , то эта прямая составит с осью как раз такой угол:

Следовательно, есть касательная в точке М, а будет нормалью.

6) Эвольвента круга:

(рис. 121).

Здесь

Таким образом, касательная параллельна радиусу есть нормаль к нашей кривой.

Замечание. Результаты примеров 4), 5), 6) можно было бы получить без всяких выкладок, исходя из кинематических соображений. При качении одной кривой по другой точка касания служит всякий раз мгновенным центром для движущейся фигуры, так что нормаль к траектории любой ее точки проходит через эту точку касания.