ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия
159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры.
До сих пор мы изучали совместное изменение двух переменных, из которых одна зависела от другой: значением независимой переменной уже вполне определялось значение зависимой переменной или функции. В науке и в жизни нередки, однако, случаи, когда независимых переменных оказывается несколько, и для определения значения функции необходимо предварительно установить значения, совместно принимаемые всеми этими независимыми переменными.
1) Так, например, объем V кругового цилиндра есть функция от радиуса R его основания и от высоты Я; зависимость между этими переменными выражается формулой
которая дает возможность, зная значения независимых переменных 
и 
, установить соответствующее значение V.
Объем V усеченного конуса, очевидно, является функцией от трех независимых переменных - радиусов 
и 
обоих его оснований и высоты Н, по формуле
2) По закону Ома, напряжение V в цепи электрического тока связано с сопротивлением 
цепи и с силой тока I зависимостью 
Если 
считать данными, то отсюда определится I как функция от V и R:
3) Пусть температура массы газа, находящегося под поршнем цилиндра, не постоянна; тогда объем V и давление 
одного моля газа связаны с ее (абсолютной) температурой Т, так называемой, формулой Клапейрона:
Отсюда, считая, например, V и Т независимыми переменными, функцию 
можно выразить через них так:
4) Изучая физическое состояние какого-нибудь тела, часто приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Таковы: плотность, температура, электрический потенциал и т. 
Все эти величины суть «функции точки» или, если угодно, функции от координат х, у, z точки. Если физическое состояние тела меняется во времени, то к этим независимым переменным присоединяется еще и время, 
. В этом случае мы имеем дело с функциями от четырех независимых переменных.
Число подобных примеров читатель и сам может произвольно увеличить.
Уточнение понятия функции в случае нескольких независимых переменных начнем с простейшего случая, когда этих переменных две.
