220. Метод вычисления дифференциалов.

Укажем теперь и другой метод для выражения старых производных через новые, особенно удобный, если в входят не отдельные производные, но все производные данного порядка. Это - метод вычисления полных дифференциалов. Он также может быть представлен в двух формах, в зависимости от того, считаются ли или х и у независимыми переменными.

Пусть сначала независимыми будут все дифференциалы берутся именно по этим переменным (прямой метод). Дифференцируя полным образом формулы преобразования (12), можно выразить линейно через

затем, дифференцируя эти формулы, представим в виде однородных многочленов второй степени относительно

и т. д. Коэффициенты суть известные функции от

Представим теперь двояко (пользуясь инвариантностью формы дифференциала):

Если вместо подставить их выражения (13) и приравнять коэффициенты при в обеих частях равенства, то получатся линейные уравнения

из которых определятся производные

Аналогично, можно представить двояко (помня о том, что независимыми переменными являются не х и у, и u):

Подставив вместо их выражения (13) и (14), приравняем коэффициенты при в обеих частях равенства Это дает нам систему трех линейных уравнений для определения производных так как уже известны

Более простым в осуществлении является обратный метод, при котором независимыми переменными считаются так что все дифференциалы берутся на этот раз по этим переменным.

Последовательным дифференцированием из формул преобразования (12) мы получаем здесь

и т. д. И здесь коэффициенты суть известные функции от .

Если в (15) вместо подставить их выражения (17) и приравнять коэффициенты при в обеих частях равенства, то непосредственно получим

Взамен (16) в настоящем случае будем иметь

Подстановка выражений (17), (18) и приравнивание коэффициентов при в обеих частях равенства непосредственно приведут к вычислению производных