§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы

39. Принцип сходимости.

Пусть задана варианта пробегающая последовательность значений

Займемся, наконец, вопросом об общем признаке существования конечного предела для этой варианты. Само определение

деление предела для этой цели служить не может, ибо в нем фигурирует уже тот предел, о существовании которого идет речь. Мы нуждаемся в признаке, который использовал бы лишь то, что нам дано, а именно - последовательность (1) значений варианты.

Поставленную задачу решает следующая замечательная теорема, принадлежащая чешскому математику Больцано (В. Bolzano) и французскому математику Коши (A. L. Cauchy); ее называют принципом сходимости.

Теорема. Для того чтобы варианта вообще имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовал такой номер чтобы неравенство

выполнялось, лишь только

Как видит читатель, суть дела здесь в том, чтобы значения переменной между собой безгранично сближались по мере возрастания их номеров. Обратимся к доказательству.

Необх одимость. Пусть варианта имеет определенный конечный предел, скажем, а. По самому определению предела [23],

каково бы ни было число по числу найдется такой номер что для всегда имеет место неравенство

Возьмем теперь любые два номера для них одновременно будет

откуда

Этим необходимость условия доказана. Значительно труднее доказать его

Достаточность. Пусть условие теоремы выполнено; требуется установить, что тогда для варианты существует определенный конечный предел.

С этой целью произведем в области всех вещественных чисел сечение по следующему правилу. В нижний класс А отнесем каждое такое вещественное число а, для которого, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство

В верхний же класс А отнесем все остальные (т. е. не попавшие в А) вещественные числа а.

Прежде всего, убедимся в непустоте этих классов, используя для этого условие теоремы. Задавшись произвольным числом возьмём соответствующий ему (в указанном там смысле) номер Если то выполняется (2), откуда

Теперь мы видим, что каждое число в отдельности относится к классу А, ибо для достаточно больших (именно, для его превосходит. С другой стороны, так как (для тех же оказывается меньшим, чем любое из чисел вида то ни одно такое число заведомо не может принадлежать А и, следовательно, относится к классу А.

Правило, определяющее классы , так сформулировано, что из него непосредственно ясно, что каждое вещественное число попадает в один и только один из этих классов. Вместе с тем, каждое число а (из А) меньше каждого числа а (из А); ведь, при варианта начиная с некоторого места, превзошла бы и а, вопреки определению чисел а. Таким образом, произведенное разбиение области вещественных чисел на классы есть, действительно, сечение.

По основной теореме Дедекинда [10], существует такое вещественное число а которое является пограничным между числами обоих классов:

Но, как мы отметили, при любом число есть одно из а, а число - одно из а. Поэтому, в частности,

для любого По определению же предела [23], это и значит, что

Теорема доказана.

Применение этого признака мы будем не раз встречать в дальнейшем изложении.