171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано—Коши.

Мы будем говорить, что функция непрерывна в некотором множестве точек n-мерного пространства, если она непрерывна в каждой точке этого множества, которая является для него точкой сгущения. Впредь, как правило, мы ограничимся случаем, когда множество представляет собой открытую или замкнутую область [163], наподобие того, как непрерывные функции одной переменной мы рассматривали в промежутке.

Обращаемся теперь к изучению свойств функции нескольких переменных, непрерывной в некоторой области -мерного пространства. Они вполне аналогичны свойствам функции одной переменной, непрерывной в промежутке (гл. II, § 5).

При изложении мы лишь для краткости ограничимся случаем двух независимых переменных. Перенесение на общий случай производится непосредственно и не представляет труда. Впрочем, некоторые замечания по этому поводу будут сделаны попутно.

Сформулируем теперь теорему, аналогичную 1-й теореме Больцано-Коши для функции одной переменной [180].

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна в некоторой связной области . Если в двух точках этой области функция принимает значения разных знаков.

то в этой области найдется и точка в которой функция обращается в нуль:

Рис. 97.

Доказательство мы построим на сведении к случаю функции одной независимой переменной.

Ввиду связности области , точки можно соединить ломаной, всеми точками лежащей в (рис. 97). Если последовательно перебирать вершины ломаной, то либо окажется, что в какой-либо из них функция обращается в 0 - и тогда теорема доказана, либо этого не будет. В последнем случае найдется такая сторона ломаной, на концах которой функция принимает значения разных знаков. Изменив обозначения точек, будем считать, что как раз и являются концами этой стороны. Ее уравнения имеют вид [161]:

Если точка передвигается именно вдоль этой стороны, то наша первоначальная функция превращается в сложную функцию одной переменной t:

очевидно, непрерывную (по теореме предшествующего п°), ввиду непрерывности как функции так и линейных функций от t, подставленных вместо ее аргументов. Но для имеем:

Применяя к функции одной переменной уже доказанную в п° 80 теорему, заключаем, что при некотором значении t между 0 и 1. Вспоминая определение функции имеем таким образом

Точка где и является искомой.

Отсюда вытекает, как и в 82, 2-я теорема Больцано-Коши, которая, впрочем, могла бы быть получена и сразу.

Читатель видит, что переход к пространству и измерений не создает никаких затруднений, ибо в -мерной связной области точки также могут быть соединены «ломаной» и вопрос сведется к рассмотрению ее стороны, вдоль которой функция будет зависеть от одного параметра, и т. д.