134. Максимумы и минимумы; необходимые условия.

Если функция определённая и непрерывная в промежутке не является в нём монотонной, то найдутся такие части промежутка в которых наибольшее или наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т. е. между . На графике функции (черт. 55) таким промежуткам соответствуют характерные горбы или впадины.

Черт. 55.

Говорят, что функция имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружать такой окрестностью содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек х выполняется неравенство

Иными словами, точка доставляет функции максимум (минимум), если значение оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана о обе стороны от точки

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при выполняется строгое неравенство

то говорят, что функция имеет в точке собственный максимум (минимум), в противном случае — несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках и то, применяя к промежутку 2-ю теорему Вейерштрасса [85], видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке между и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдётся максимум. В том простейшем (и на практике — важнейшем) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они попросту чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин — экстремум.

Поставим задачу о розыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении её основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для функции в промежутке существует конечная производная. Если в точке функция имеет экстремум, то, применяя промежутку , о котором была речь выше, теорему Ферма [109], заключаем, что в этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю; такие точки будем называть стационарными.

Не следует думать, однако, что каждая стационарная точка доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие не является достаточным. Мы видели, напримерг в 132,1),

что для функции производная обращается в нуль при но в этой точке функция не имеет экстремума: она время возрастает.

Если расширить класс рассматриваемых функций и допустить, что в отдельных точках двусторонней конечной производной не существует, то не исключена возможность того, что экстремум придется на какую-либо из таких точек: ведь теорема Ферма утверждает равенство лишь в предположении, что существует двусторонняя конечная производная! Например, функция очевидно, имеет минимум при в то время как в этой точке ее производная слева равна справа точно также в точке имеет минимум функция хотя двусторонней производной для нее в этой точке нет [100]. Следовательно, и точки, в которых не существует двусторонней конечной производной, также могут доставлять функции экстремум. Но, разумеется, и в этом случае также не может быть гарантировано наличие экстремума во всех таких точках. Примерами могут служить функции (с дополнительным условием: при Первая из них имеет бесконечную производную в точке вторая же вовсе не имеет производной в этой точке но точка не доставляет экстремума ни той, ни другой функции (ибо в любой окрестности обе функции принимают и положительные и отрицательные значения).