254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты.

Если точка перемещается вдоль данной кривой, то соответствующий ей центр кривизны вообще говоря, также описывает некоторую кривую. Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. Обратно, исходная кривая по отношению к своей эволюте называется ее эвольвентой.

Формулы (10) или (10а) предыдущего п°, выражающие координаты центра кривизны С через параметр можно рассматривать как уже готовые параметрические уравнения эволюты. Иногда представляется выгодным исключить из них параметр и выразить эволюту неявным уравнением

Примеры. 1) Найти эволюту параболы . Пользуясь полученными выше [252, 8)] результатами:

по формулам (10а) находим координаты центра кривизны:

Итак, параметрические уравнения эволюты параболы (где у - в роли параметра) будут

Исключая из этих уравнений у, получим

откуда, наконец,

Мы видим, что эволютой параболы является полукубическая парабола (рис. 160).

2) Найти эволюту эллипса

Имеем

Подставляя это в формулу (10), получим

Таково параметрическое представление эволюты эллипса. Исключив t, получим уравнение этой кривой в неявном виде:

Кривая напоминает собой астроиду и получается из нее путем вытягивания по вертикальному направлению (рис. 161).

Рис. 160.

Рис. 161.

Аналогично, но лишь с помощью гиперболических функций (вместо тригонометрических), и для гиперболы получается эволюта

3) Найти эволюту астроиды

Мы имели уже в п° 252, 2):

Подставив это в формулы (10а), после упрощений получим

Из этих уравнений, совместно с уравнением самой астроиды, следующим образом можно исключить х и у:

Если повернуть оси координат на 45°, то новые координаты выразятся через старые по формулам

так что в новой координатной системе уравнение искомой эволюты получит вид

Мы узнаем в этом снова уравнение астроиды. Таким образом, эволютой астроиды служит астроида же вдвое больших размеров, с осями, повернутыми по сравнению с прежним на 45° (рис. 162).

4) Найти эволюту циклоиды

Рис. 162.

Так как мы знаем [231, 4)], что для циклоиды:

то удобнее воспользоваться формулами (9). Подставив в них это значение получим

или

Положив полученные параметрические уравнения перепишем в виде

Отсюда ясно, что эволюта циклоиды есть циклоида, конгруентная с данной, но смещенная на отрезок а влево (параллельно оси х, в отрицательном направлении) и на отрезок 2а вниз (параллельно оси у, тоже в отрицательном направлении).

Представляем читателю убедиться в том, что эволюта эпи- или гипоциклоиды также конгруентна с исходной кривой и получается из нее простым поворотом.

5) Найти эволюту логарифмической спирали аетв. Геометрическое построение центра кривизны, указанное в 252, 5) позволяет с легкостью установить его полярные координаты Именно (см. рис. 134)

Исключая из этих уравнений и уравнения самой спирали, получим уравнение эволюты

Повернув полярную ось на надлежащий угол, можно отождествить это уравнение с исходным; таким образом, эволюта логарифмической спирали есть такая же спираль, получающаяся из исходной поворотом вокруг полюса.

К построению эвольвент для заданной кривой мы вернемся после того, как изучим некоторые свойства эволют и эвольвент.