197. Достаточные условия (случай функции двух переменных).

Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума. Если для примера взять простую функцию то для нее обращаются одновременно в 0 в единственной - начальной точке (0,0), в которой . В то же время непосредственно ясно, что в любой окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, и экстремума нет. На рис. 92 изображена поверхность (гиперболический параболоид), выражаемая уравнением вблизи начальной точки она имеет седлообразную форму, изгибаясь в одной вертикальной плоскости вверх, а в другой - вниз.

Таким образом, встает вопрос об условиях, достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.

Мы рассмотрим сначала случай функции двух переменных Предположим, что эта функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки которая является стационарной, т. е. удовлетворяет условиям

Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке экстремум или нет, естественно обратиться к рассмотрению разности

Разложим ее по формуле Тейлора [195], ограничиваясь двумя членами. Впрочем, так как точка предположена стационарной, то первый член исчезает, и мы будем иметь просто

При этом роль приращений играют разности и производные все вычислены в некоторой точке

Введем в рассмотрение значения этих производных в самой испытуемой точке:

и положим

так что, ввиду непрерывности вторых производных,

Разность А напишется в виде:

Как мы установим, поведение разности А существенно зависит от знака выражения Для облегчения рассуждений введем «полярные координаты», взяв за полюс исходную точку и проведя через нее полярную ось параллельно оси х (рис. 105). Пусть есть расстояние между токами означает угол, составленный соединяющим их отрезком с полярной осью, так что

Рис. 105.

Тогда интересующая нас разность А напишется так:

1° Пусть, сначала,

В этом случае так что и первый трехчлен в скобках может быть представлен в виде:

Отсюда ясно, что выражение в скобках всегда положительно, так что упомянутый трехчлен при всех значениях не обращаясь в нуль, сохраняет знак коэффициента Его абсолютная величина, как непрерывная в промежутке функция от имеет (очевидно, положительное) наименьшее значение

С другой стороны, если обратиться ко второму трехчлену в скобках то, ввиду (4),

сразу для всех если только (а с ним и ) достаточно мало. Но тогда все выражение в скобках а значит и разность А, будет сохранять тот же знак, что и первый из трехчленов, т. е. знак

Итак, если то и , т. е. функция в рассматриваемой точке имеет минимум, а при будет и т. е. налицо максимум.

2° Предположим теперь, что

Остановимся на случае, когда ди 0, тогда можно и здесь использовать преобразование (5). При выражение в скобках будет положительно, ибо сведется к Наоборот, если определить из условия

то это выражение сведется к и будет отрицательно. При достаточно малом о второй трехчлен в скобках как при так и при будет сколь угодно мал, и знак А определится знаком первого трехчлена. Таким образом, в любой близости от рассматриваемой точки на лучах, определяемых углами разность А будет иметь значения противоположных знаков. Следовательно, в этой точке экстремума быть не может.

Если и первый трехчлен в скобках сведется к

то, пользуясь тем, что наверное можно определить угол так, что

Тогда при упомянутый трехчлен будет иметь противоположные знаки, и рассуждение завершается, как и выше.

Итак, если то в испытуемой стационарной точке функция имеет экстремум, именно, собственный максимум при и собственный минимум при Если же то экстремума нет.

В случае же для решения вопроса приходится привлекать высшие производные; этот «сомнительный» случай мы оставим в стороне.

Примеры. 1) Исследуем на максимум и минимум функцию

Вычислим частные производные:

Отсюда сразу видим, что единственной стационарной точкой является начало координат (0, 0).

Вычислив получим

отсюда . Следовательно, в точке (0, 0) функции z имеет минимум; впрочем, это ясно и непосредственно.

Геометрическим образом нашей функции будет эллиптический параболоид с вершиной в начальной точке (ср. рис. 93).

И здесь видим, что стационарной точкой является (0, 0).

Вычисляем

отсюда Следовательно, экстремума нет.

Геометрически мы здесь имеем дело с гиперболическим параболоидом, вершина которого - в начале координат.

в обоих случаях стационарной является точка (0, 0) и в ней

Наш критерий не дает ответа; при этом, в первом случае, как непосредственно видно, налицо минимум, а во втором - экстремума вовсе нет.

Замечание. Результаты настоящего п° впоследствии [236] окажутся тесно связанными с геометрическим вопросом о поведении кривой вблизи ее «особой» точки.