§ 3. Монотонная варианта

34. Предел монотонной варианты.

Теоремы о существовании пределов переменных, которые приводились до сих пор, имели такой характер: в предположении, что для одних вариант пределы существуют, устанавливалось существование пределов для других вариант, так или иначе связанных с первыми. Вопрос о признаках существования конечного предела для заданной варианты, безотносительно к другим переменным, не ставился. Оставляя решение этого вопроса в общем виде до § 4, 39 - 42, мы рассмотрим здесь один простой и важный частный класс переменных, для которых он решается легко. Варианта называется возрастающей, если

т. е. если из следует . Её называют неубывающей, если

т. е. если из и следует лишь Можно и в последнем случае называть переменную возрастающей, если придать этому термину более широкий смысл.

Аналогично устанавливается понятие об убывающей - в узком или широком смысле слова - варианте: так называется варианта, для которой, соответственно,

или

так что из следует (смотря по случаю) или лишь

Переменные всех этих типов, изменяющиеся в одном налравлении, объединяются под общим названием монотонных. Обычно

о варианте говорят, что она «монотонно возрастает» или «монотонно убывает».

По отношению к монотонным вариантам имеет место следующая - фундаментальной важности -

Теорема. Пусть дана монотонно возрастающая варианта . Если она ограничена сверху:

то необходимо имеет конечный предел, в противном же случае — она стремится к

Точно так же, всегда имеет предел и монотонно убывающая варианта Ее предел конечен, если она ограничена снизу:

в противном же случае ее пределом служит

Доказательство. Ограничимся случаем возрастающей, хотя бы в широком смысле, варианты (случай убывающей варианты исчерпывается аналогично).

Допустим сначала, что эта переменная ограничена сверху. Тогда, по теореме п° 11, для множества ее значений должна существовать и (конечная) точная верхняя граница:

как мы покажем, именно это число а и будет пределом варианты

Вспомним, действительно, характерные свойства точной верхней границы Во-первых, для всех значений будет

Во-вторых, какое бы ни взять число найдется такой номер что

Так как, ввиду монотонности нашей варианты (здесь мы впервые на это опираемся), при будет т. е. и подавно то для этих значений номера выполняются неравенства

откуда и следует, что

Пусть теперь варианта не ограничена сверху. Тогда, сколь велико ни было бы число найдется хоть одно значение нашей переменной, которое больше Е; пусть это будет Ввиду монотонности варианты для и подавно

а это и означает, что

Легко понять, что все заключения остаются в силе и для переменной, которая, лишь начиная с некоторого места, становится монотонной (ибо - без влияния на предел переменной - любое число первых её значений можно отбросить).

Обратимся к примерам применения теоремы.