246. Направление на кривой.

Будем считать, что точка А отвечает значению параметра а точка В - значению и называть А начальной, конечной точкой кривой. Вообще, расположим точки М кривой по возрастанию параметра t, т. е. из двух отличных от А и В точек ту будем считать следующей, которая отвечает большему значению параметра. Таким образом определяется «направление на кривой». Однако, формально это определение поставлено в зависимость от частного параметрического представления (1). Покажем, что на деле понятие направления на кривой не зависит от конкретного способа задания кривой.

Начнем с более простого случая незамкнутой кривой.

Если незамкнутая кривая наряду с представлением (1), имеет и представление (также без кратных точек)

где функции по-прежнему непрерывны, и значению отвечает точка А, а значению - точка В, то оба представления определяют на кривой одно и то же направление.

Каждому значению t отвечает некоторая точка кривой, которая в свою очередь однозначно определяет значение и; обратно, каждому и отвечает одно определенное значение Таким образом, и оказывается однозначной функцией от которая к тому же при изменении t между и Т - принимает каждое свое значение лишь однажды. В частности,

По лемме 1, двум достаточно близким значениям t отвечают сколь угодно близкие точки кривой, а тогда — по лемме 2 — им отвечают и сколь угодно близкие значения и, т. е. функция оказывается непрерывной.

Отсюда можно заключить, что эта функция будет монотонно возрастающей (в узком смысле). Действительно, если бы при имели то - по известному свойству непрерывной функции [82] - между и t нашлось бы значение для которого так что значение принималось бы функцией дважды (при вопреки тому, что было доказано вьппе.

Теперь, раз установлено, что возрастает вместе с t, уже ясно, что расположение точек по возрастанию параметра t совершенно равносильно расположению их по возрастанию параметра и.

Это направление, которое можно было бы назвать направлением на кривой от точки А к точке В, оказывается, таким образом, вполне геометрическим понятием.

Аналогично, заменяя, скажем, t на и располагая точки по возрастанию параметра t, установим понятие о направлении на кривой от точки В к точке А; его очевидно, можно получить также, располагая точки по убыванию параметра Конечно, и это направление не зависит от частного выбора представления кривой.

Обратимся, наконец, к вопросу о направлении на замкнутой кривой. Возьмем на ней по произволу две (отличные от А) точки С и и пусть им соответствуют значения параметра так что в том расположении, которое было вьппе установлено с помощью параметра t, точка следует за С. Можно показать, что всякое направление на кривой, определенное любым параметрическим представлением, но сохраняющее этот порядок точек С и совпадает с прежним. Действительно, если значениям где отвечают точки А и В, то для (незамкнутой) дуги подобное заключение вытекает из предыдущего; но так как может бьггь взято сколь угодно близко к к Т, то оно справедливо и для всей кривой.

Таким образом, можно говорить о направлении от А через С и к А, как не зависящем от выбора параметрического представления кривой. Аналогично устанавливается понятие о направлении от А через и С к А.