133. Доказательство неравенств.

Изложенный простой критерий монотонности успешно применяется к доказательству неравенств.

1) Докажем, что для — имеем

Пусть Производная

будет отрицательна, так как . Значит, функция убывает

2) Функция обращается при в нуль. Ее производная, при

Значит, функция для оказывается возрастающей, и при будет т. е.

Отсюда, аналогично, при получим, что

3) Доказать, что при будет

Для этого достаточно установить, что для указанных х производная функции равная положительна, т. е. что , а это приводит к известному неравенству [54 (9)].

4) Так как функция имеет производную

то функция эта возрастает, пока х изменяется в промежутке (0,1], и убывает в промежутке . Отсюда ясно, что будет наибольшим значением функции, так что для

5) Рассмотрим еще функцию для (предполагая . Имеем

и — аналогично 4) — заключим, что для

Полученное простое неравенство является источником для вывода ряда классических неравенств. В связи с этим полезно представить его еще и в других формах.

Полагая где произвольные положительные числа, и обозначая через , приведем (3) к виду

Иногда вводят числа так что . Заменяя в предыдущем неравенстве а и соответственно через получим

6) Прежде всего, неравенство (За) можно распространить на случай любого числа перемножаемых степеней. От двух к трём переход осуществляется так (с двукратным применением неравенства

так что окончательно

Аналогично можно было бы совершить и переход от и доказать — по метоту математической индукции — общее. неравенство, которое (в изменённых обозначениях) имеет вид:

Взамен можно ввести произвольные числа полагая так что сумма Неравенство напишется так:

При мы придём к известному неравенству

устанавливающему, что среднее геометрическое ряда положительных чисел не превосходит их среднего арифметического. Таким образом, неравенство (4) является естественным обобщением этого классического утверждения.

7) Обратимся к доказательству, так называемого, неравенства Коши - Гельдерa (A. L. Cauchy - О. Holder)

Коши установил это неравенство для частного случая

Предположим сначала, что

так что подлежащее доказательству неравенство примет вид

Положим в неравенстве (36) поочерёдно и просуммируем все полученные неравенства; учитывая условие (6), придём к требуемому результату.

Общий случай приводится к рассмотренному частному, если взамен чисел ввести числа

для которых уже выполняются условия типа (6). По доказанному

а это равносильно (5).

8) Из неравенства Коши — Гельдера сразу получается ещё одно важное неравенство, носящее имя Минковского (Н.Minkowski)

Очевидно,

Если к каждой из последних двух сумм применить неравенство (5), то получим:

и, наконец сократив на последний множитель, придём к (7).