62. Эквивалентные бесконечно малые.

Остановимся теперь на одном особенно важном частном случае бесконечно малых одного порядка.

IV. Будем называть бесконечно малые оси Р эквивалентными (в знаках: если их разность оказывается величиной высшего порядка, чем каждая из бесконечно малых а и

Впрочем, достаточно потребовать, чтобы у была высшего порядка, чем одна из этих бесконечно малых, потому что, если, например, у высшего порядка, чем а, то она будет также высшего порядка, чем .

Действительно, из того, что следует, что и

Рассмотрим две эквивалентные бесконечно малые а и так что где Если приближенно положить то по мере уменьшения обеих величин - стремится к нулю не только абсолютная погрешность от этой замены, представляемая величиной

чиной но и относительная погрешность, равная Иными словами, при достаточно малых значениях можно со сколь угодно большой относительной точностью положить На этом основана, при приближенных выкладках, замена сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми.

Установим полезный критерий эквивалентности двух бесконечно малых, который в сущности дает второе определение этого понятия, равносильное ранее данному:

Для того чтобы две бесконечно малые а и были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы было

Пусть сперва выполняется это соотношение, так что

Тогда

будет величиной высшего порядка, чем а, ибо

Обратно, пусть теперь и эквивалентны, т. е. есть бесконечно малая высшего порядка, чем а. Вследствие этого имеем

С помощью этого критерия, например, сразу видно, что при бесконечно малые эквивалентны эквивалентно . Отсюда - приближенные формулы:

Доказанное свойство эквивалентных бесконечно малых приводит к использованию их при раскрытии неопределенности вида т. е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых . Каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на существование и величину предела, любой эквивалентной ей бесконечно малой.

Действительно, если и т. е.

то отношение

отличающееся от отношения — множителями, стремящимися к единице, имеет предел одновременно с ним (и притом тот же).

Если удастся выбрать а и достаточно простыми, то это может сразу значительно упростить задачу; например,

Из доказанного вытекает также, что две бесконечно малые, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.