где 
в свою очередь, суть функции от переменных 
Относительно функций 
и 
предположим, что они имеют непрерывные частные производные по всем переменным до 
порядка включительно. Рассматривая и как сложную функцию от переменных 
докажем, что сложная функция имеет также все производные до 
порядка включительно, и притом непрерывные.
Точнее говоря, мы будем доказывать следующее предложение: каждая производная 
о порядка функции 
существует и составляется из производных функции 
(по ее аргументам 
) и функций 
; (по их аргументам 
порядка не выше 
путем умножений и сложений.
Доказательство будем вести по методу математической индукции. Для 
это утверждение справедливо; оно следует из выведенной ранее формулы для производной сложной функции [181].
Предположим, что теорема верна для производных всех порядков, низших, чем k; докажем, что она верна и для производных 
порядка. Каждая 
производная получается из некоторой 
посредством дифференцирования по одному из 
Представим себе производную 
порядка. Она по предположению получается из производных функций 
по переменным 
порядков не выше 
путем умножений и сложений, т. е. представляет собой сумму произведений упомянутых производных. Дифференцируя по 
любое из этих произведений, мы должны по очереди дифференцировать каждый из множителей. Если этот множитель есть производная порядка не выше 
от одной из функций 
, то в результате дифференцирования его мы получим производную той же функции порядка не выше к. Если же это будет производная порядка не выше 
функции 
то рассматривая эту производную как сложную функцию от переменных t и дифференцируя ее по 
мы заменим ее известной суммой произведений 
В результате, для рассматриваемой производной 
порядка получится, очевидно, выражение как раз указанного вида, что и доказывает наше утверждение.
Непрерывность производных сложной функции 
вытекает из самого способа составления их из производных 
поскольку последние предположены непрерывными.
