§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков

115. Определение производных высших порядков.

Если функция имеет конечную производную в некотором промежутке X, так что эта последняя сама представляет новую функцию от х, то может случиться, что эта функция в некоторой точке из X, в свою очередь, имеет производную, конечную или нет. Ее называют производной второго порядка или второй производной функции в упомянутой точке, и обозначают одним из символов

Так, например, мы видели в 92, что скорость движения точки равна производной от пройденного точкой пути s по времени ускорение же а есть производная от скорости по времени: . Значит, ускорение является второй производной от пути по времени:

Аналогично, если функция имеет конечную вторую производную в целом промежутке X (т. е. в каждой точке этого промежутка), то ее производная, конечная или нет, в какой-либо точке из X назьюается производной третьего порядка или третьей производной функции в этой точке, и обозначается так:

Подобным же образом от третьей производной переходим к четвертой и т. д. Если предположить, что понятие производной уже определено и что производная существует и конечна в промежутке X, то ее производная в некоторой точке этого промежутка называется производной порядка или производной от исходной функции для обозначения ее применяются символы:

Иной раз - при пользовании обозначениями Лагранжа или Коши - может возникнуть надобность в указании переменной, по которой берется производная; тогда ее пишут в виде значка внизу:

причем, есть условная сокращенная запись вместо Например, можно написать:

(Читателю ясно, что и здесь цельные символы

можно рассматривать как функциональные обозначения.)

Таким образом, мы определили понятие производной, как говорят, индуктивно, переходя по порядку от первой производной к последующим. Соотношение, определяющее производную:

называют также рекуррентным (или «возвратным»), поскольку оно «возвращает» нас от производной.

Самое вычисление производных порядка, при численно заданном и, производится по известным уже читателю правилам и формулам. Например, если

то

так что все последующие производные равны тождественно 0. Или пусть

тогда

Заметим, что по отношению к производным высших порядков так же, индуктивно, можно установить понятие односторонней производной Если функция определена лишь в некотором промежутке X, то, говоря о производной любого порядка на конце его, всегда имеют в виду именно одностороннюю производную.