162. Примеры областей в n-мерном пространстве.

Обратимся теперь к рассмотрению некоторых примеров «тел» и «областей» в -мерном «пространстве».

1) Множество «точек» координаты которых независимо одна от другой удовлетворяют неравенствам

называется (и-мерным) «прямоугольным параллелепипедом» и обозначается так:

При отсюда, в частности, получается тот «прямоугольник», о котором уже была речь в п° 160; трехмерному «параллелепипеду» отвечает в пространстве обыкновенный прямоугольный параллелепипед.

Если в написанных соотношениях исключить равенство:

то этим определится открытый «прямоугольный параллелепипед»

в отличие от которого рассмотренный выше называется замкнутым. Разности называют измерениями обоих параллелепипедов, а точку

— их центром.

Окрестностью «точки» называется любой открытый «параллелепипед»:

с центром в точке чаще всего это будет «куб»:

8 0), все измерения которого равны (28)

2) Рассмотрим множество «точек» координаты которых удовлетворяют неравенствам

При соответствующим этому множеству геометрическим образом будет равнобедренный прямоугольный треугольник, а при

тетраэдр (рис. 95). В общем случае его называют симплексом (именно - замкнутым, в отличие от открытого, который получится, если в написанных соотношениях исключить равенство).

3) Наконец, множество «точек» определяемое неравенством

если есть постоянная «точка», постоянное положительное число, образует замкнутую (или открытую) -мерную «сферу» радиуса с центром в «точке»

Рис. 95.

Иными словами «сфера» есть множество «точек» М, «расстояние» которых от некоторой постоянной «точки» не превосходит (или меньше) . Само собой ясно, что этой «сфере» при отвечает круг а при - обыкновенная сфера.

Открытую «сферу» любого радиуса О с центром в точке можно также рассматривать как окрестность этой точки; в отличие от той («параллелепипедальной») окрестности, которую мы ввели раньше, эту окрестность будем называть «сферической». Полезно раз навсегда дать себе отчет в том, что если «точка» окружена окрестностью одного из указанных двух типов, то ее можно окружить и окрестностью второго типа так, чтобы эта окрестность содержалась в первой.

Пусть сначала задан «параллелепипед» (3) с центром в «точке» Достаточно взять открытую «сферу» с тем же центром и радиусом меньшим всех , чтобы эта сфера уже содержалась названном «параллелепипеде». Действительно, для любой «точки» этой «сферы» будем иметь (при каждом

или

так что эта точка принадлежит заданному «параллелепипеду».

Обратно, если задана «сфера» радиуса с центром в то «параллелепипед» (3) в ней содержится, например, при Это следует из того, что любая «точка» этого «параллелепипеда» отстоит от «точки» на «расстояние»

и, следовательно, принадлежит заданной «сфере».