114. Формула Коши.

Формула конечных приращений обобщается следующим образом:

Теорема Коши. Пусть 1) функции непрерывны в замкнутом промежутке существуют конечные производные по крайней мере, в открытом промежутке в промежутке

Тогда между а и найдется такая точка с что

Эта формула носит название формулы Коши.

Доказательство. Установим сперва, что знаменатель левой части нашего равенства не равен нулю, так как в противном случае выражение это не имело бы смысла. Если бы было то, по теореме Ролля, производная в некоторой промежуточной точке была бы равна нулю, что противоречит условию 3); значит

Рассмотрим теперь вспомогательную функцию

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, непрерывна в так как непрерывны производная существует в именно, она равна

Наконец, прямой подстановкой убеждаемся, что Вследствие этого в промежутке существует такая точка с, что Иначе говоря,

или

Разделив на (это возможно, так как получаем требуемое равенство.

Ясно, что теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши. Для получения формулы конечных приращений из формулы Коши следует положить Теорему Коши называют обобщенной теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении).

Геометрическая иллюстрация теоремы Коши - та же, что и для теоремы Лагранжа. Чтобы читателю легче было это усмотреть, перейдем к другим обозначениям: х заменим на t, а функции обозначим через . Если t изменяется в промежутке то формула Коши напишется так:

Рассмотрим теперь кривую, заданную параметрическими уравнениями

Тогда левая часть формулы и здесь выражает угловой коэффициент хорды, соединяющей концы дуги этой кривой, а правая - угловой

коэффициент касательной в некоторой внутренней точке дуги, отвечающей [106, (11)].

Замечание. Эти соображения подсказывают мысль о возможности вывести формулу Коши из формулы Лагранжа. Суть этого вывода в том, что вместо параметрической зависимости (5) устанавливают непосредственную зависимость: и тогда формула (4) оказывается равнозначащей с (1).