136. Достаточные условия. Первое правило.

Итак, если точка есть стационарная точка для функции или если в этой точке не существует для нее двусторонней конечной производной, то точка представляется, так сказать лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Это испытание состоит в проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас установим.

Предположим, что в некоторой окрестности точки (по крайней мере, для существует конечная производная и как слева от так и справа от (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

I. при при т. е. призводная при переходе через точку меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке функция возрастает, а в промежутке убывает [132], так что значение будет наибольшим в промежутке т. е. в точке функция имеет собственный максимум. при при т. е. производная при переходе через точку меняет знак минус на плюс. В этом

случае аналогично убеждаемся, что в точке функция имеет собственный минимум.

как при так и при либо же и слева и справа от т. е., при переходе через не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой близости от с одной стороны найдутся точки х, в которых а с другой — точки х, в которых так что в точке никакого экстремума нет.

Графическая иллюстрация простейших возможностей дана на черт. 56 а, б, в.

Черт. 56.

Итак, мы получаем первое правило для испытания «подозрительного» значения подставляя в производную сначала а затем устанавливаем знак производной вблизи от точки слева и справа от неё; если при этом производная меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак минус на плюс, то — минимум; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

Именно, тогда, прежде всего, в любом промежутке

существует конечная производная и, кроме того, в каждом таком промежутке сохраняет постоянный знак. Действительно, если бы меняла знак, например, в промежутке то, по теореме Дарбу [110], она обращалась бы в нуль в некоторой точке между что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (4).

Последнее замечание бывает полезно в некоторых случаях на практике: знак производной во всём промежутке определится, если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.