198. Достаточные условия (общий случай).

Обратимся теперь к рассмотрению общего случая. Пусть функция определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой стационарной точки Разлагая разность

по формуле Тейлора, получим, как и выше,

где мы где производные все вычислены в некоторой точке

Введем и здесь значения

так что

и

Теперь интересующее нас выражение А можно написать в виде

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции в рассматриваемой точке; он представляет собой однородный многочлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

от переменных называют определенной положительной (отрицательной), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю. Так, например, форма

будет определенной положительной. Это становится ясным, если представить ее в виде

Мы не имеем возможности вдаваться здесь по этому поводу в подробности. Ограничимся упоминанием о принадлежащем Сильвестру (J. J. Sylvester) необходимом и достаточном условии для

того, чтобы форма (9) была определенной и положительной. Оно выражается цепью неравенств:

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех ее членов переходит в определенную положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отрицательной формы: она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями, сформулируем достаточные для существования экстремума условия:

Если второй дифференциал, т. е. квадратичная форма

со значениями (6) коэффициентов оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в испытуемой точке будет собственный минимум (максимум).

Для доказательства, введем расстояние

между точками Вынося в (8) за скобку и полагая

перепишем выражение для А в виде

Числа зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма (10) — положительная, первая сумма в скобках в формуле (11) имеет всегда положительный знак. Больше того, так как

то найдется такое постоянное положительное число что при всех возможных значениях будет

Действительно, эта сумма представляет непрерывную функцию от аргументов во всем пространстве, в частности же - и в множестве тех точек которые удовлетворяют соотношению (12) («сферическая поверхность»). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения; а тогда, по теореме Вейерштрасса [173, см. замечание после ее доказательства], названная сумма будет иметь в и наименьшее значение необходимо положительное (как и все ее значения в .

С другой стороны, ввиду (7) вторая сумма в (11) для достаточно малых очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке разность А будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция имеет собственный минимум.

Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (10) будет определенной, но отрицательной.