191. Обобщение.

Обратимся, наконец, к доказательству общей теоремы о смешанных производных:

Теорема. Пусть функция от переменных определена в (открытой) n-мерной области и имеет в этой области всевозможные частные производные до порядка включительно и смешанные производные порядка, причем все эти производные непрерывны в

При этих условиях значение любой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Доказательство. Для теорема уже доказана, так что, например,

Действительно, чтобы свести этот случай к первой теореме, достаточно заметить, что при вычислении этих производных можно всем прочим переменным (кроме приписать постоянные значения, причем названные производные, непрерывные по всей совокупности переменных, будут непрерывны и по переменным при фиксировании остальных. Пусть теперь к

Докажем сначала нашу теорему для того случая, когда при вычислении производной порядка произведена перестановка только между двумя последовательными дифференцированиями, т. е. докажем справедливость равенства

(Здесь есть некоторое размещение из и знаков и по k, с возможными повторениями.)

Произведя последовательно необходимые для вычисления этих производных дифференцирования, видим, что производные порядка в обоих случаях одинаковы. Применив к ним уже доказанную для теорему, получим, что и производные порядка равны. Дальше же в обоих случаях нужно производить одинаковые операции, которые и приведут к одинаковым результатам.

Итак, равенство (7), действительно, справедливо, и теорема для этого случая доказана. Но так как всякая перестановка элементов может быть достигнута рядом перестановок двух последовательных элементов, то теорема доказана и в общем случае: при условии непрерывности соответствующих производных, всегда можно переставлять между собою дифференцирования по различным переменным.

Непрерывность производных мы впредь всегда будем предполагать, так что для нас порядок последовательных дифференцирований будет безразличен. Это дает нам право впредь при обозначении смешанной производной собирать вместе дифференцироваяия по одной и той же переменной. Если и есть функция от то мы будем писать такую производную в виде

где если же и есть функция от х, у, z, то в виде

где Отдельные «показатели» или могут быть и нулями: наличие дифференциала с «показателем» 0 означает отсутствие на деле дифференцирования по соответствующей переменной.