139. Разыскание наибольших и наименьших значений.

Пусть функция определена и непрерывна в конечном замкнутом

промежутке . До сих пор мы интересовались лишь ее максимумами и минимумами, теперь же поставим вопрос о разыскании наибольшего и наименьшего из всех значений, которые она принимает в этом промежутке; по 2-й теореме Вейерштрасса [85], такие наибольшие и наименьшие значения существуют. Остановимся для определенности на наибольшем значении.

Рис. 63.

Если оно достигается в некоторой точке между , то это одновременно будет одним из максимумов (очевидно, наибольшим); но наибольшее значение может достигаться и на одном из концов промежутка, а или (рис. 63). Таким образом, нужно сравнить между собой все максимумы функции и ее граничные значения наибольшее из этих чисел и будет наибольшим из всех значений функции Аналогично разыскивается и наименьшее значение функции.

Пусть, например, разыскиваются наибольшее в наименьшее значения функции в промежутке два максимума, равных 1, больше граничных значений следовательно, 1 и будет наибольшим значением функции в указанном промежутке. Минимум, равный больше граничных значений, так что наименьшим значением будет 0. Дня промежутка в качестве наибольшего значения пришлось бы взять больший из двух максимумов достигаемых при ибо на концах принимают значения меньшие, чем 1. Наименьшее значение достигается на правом конце, в то же время, при совпадая с минимумом.

Если желают избежать исследования на максимум или минимум, то можно поступить иначе. Нужно лишь вычислить значения функции во всех «подозрительных» по экстремуму точках и сравнить их с граничными значениями наибольшие и наименьшие из этих чисел, очевидно, и будут наибольшим и наименьшим из всех значений функции.

Например, для промежутка сравниваем значения с граничными а для промежутка

сравниваем числа с граничными значениями

Замечание. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между а и оказывается лишь одна «подозрительная» точка Если в этой точке функция имеет максимум (минимум), то без сравнения с граничными значениями ясно, что это и будет наибольшее (наименьшее) значение функции в промежутке (см. рис. 64). Часто в подобных случаях оказывается более простым произвести исследование на максимум и минимум, чем вычислять и сравнивать частные значения функции (особенно, если в состав ее выражения входят буквенные постоянные).

Рис. 64.

Важно подчеркнуть, что сказанное приложимо в полной мере и к открытому промежутку также к бесконечному промежутку.