§ 2. Касательная и касательная плоскость

230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах.

Понятие касательной нам уже встречалось не раз [см. например, 91]. Кривая, заданная явным уравнением

где - непрерывная функция с непрерывной производной, в каждой своей точке имеет касательную, угловой коэффициент которой выражается формулой

Таким образом, уравнение касательной имеет вид

Здесь (как и ниже) X, Y означают текущие координаты, а х,у - координаты точки касания. Легко получить и уравнения нормали, т. е. прямой, проходящей через точку касания перпендикулярно к касательной:

В связи с касательной и нормалью рассматривают некоторые отрезки - именно отрезки и их проекции на ось х (рис. 131). Последние называются, соответственно, подкасательной и поднормалью и обозначаются через sbt (subtangens) и sbn (subnormal). Полагая в уравнениях (1) и легко вычислить, что

Тогда из треугольников и определятся и длины отрезков касательной и нормали

В случае неявного задания кривой

в окрестности ее обыкновенной точки можно представить себе кривую выраженной явным уравнением.

Рис. 131.

Если в точке М, например, то кривая выразится уравнением вида где функция непрерывна и имеет непрерывную производную. Отсюда ясно, что для кривой существует в точке М касательная, и ее уравнение может быть представлено в форме (1). Но мы знаем [209 (15)], что в этом случае

подставляя, после простых преобразований получим вполне симметричное относительно х и у уравнение касательной

К тому же результату придем и случае, если в точке М, но Лишь в особой точке это уравнение теряет смысл, и относительно касательной, без дополнительного исследования [236], здесь ничего сказать нельзя.

Уравнение нормали для рассматриваемого случая, очевидно, будет таково:

Наконец, предположим, что кривая задана параметрически:

Мы видели, что если касательная к кривой существует и имеет угловой коэффициент

[106 (11)]. Уравнение касательной может быть написано так:

В последней форме уравнение годится и для случая, когда но . Лишь в особой точке, где и уравнение теряет смысл, и вопрос о касательной остается открытым [237].

Иногда удобно, умножив оба знаменателя на множитель писать уравнение касательной в виде

Рис. 132.