71. Непрерывность и разрывы монотонной функции.

Рассмотрим функцию которая - при изменении в промежутке X - монотонно возрастает (убывает), хотя бы в широком смысле [57]. По отношению к таким функциям имеет место следующая теорема;

1° Монотонно возрастающая (убывающая) функция может иметь в X разве лишь разрывы первого рода, т. е. скачки.

Возьмем любую точку промежутка X, и пусть она не является левым концом этого промежутка. Рассматривая ту часть промежутка, которая лежит влево от применим к ней теорему из 57 о пределе монотонной функции; поскольку для очевидно, то существует конечный предел

Если он совпадает со значением то слева в точке функция непрерывна; в противном случае - налицо скачок.

Аналогично убеждаемся в том, что в каждой точке промежутка X (не служащей правым его концом) справа тоже либо имеет место непрерывность, либо скачок.

С помощью доказанной теоремы легко установить критерий непрерывности монотонной функции, удобный на практике:

2° Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке X функции содержатся в промежутке и сплошь заполняют его (так что каждое значение у из принимается функцией хоть раз), то эта функция непрерывна в

Попробуем допустить, что в какой-нибудь точке из X функция имеет разрыв, например, слева; как мы видели, этот разрыв может быть только скачком. В этом случае существует предел но он меньше значения Так как для будет для очевидно, то функция не может принимать значений у, лежащих между числами принадлежащими промежутку Это противоречит условию теоремы; значит, на деле функция разрывов не имеет.

В следующем п° читатель найдет ряд примеров приложения этой полезной теоремы.