96. Формула для превращения функции.

Докажем здесь два простых утверждения, имеющих приложения в дальнейшем.

Пусть функция определена в промежутке Исходя из определенного значения из этого промежутка, обозначим через произвольное приращение х, подчиненное лишь тому ограничению, чтобы точка не вышла за пределы X. Тогда соответствующим приращением функции будет

1° Если функция в точке имеет (конечную) производную то приращение функции может быть представлено в виде

или, короче,

где величина, зависящая от и вместе с ним стремящаяся к нулю.

Так как, по самому определению производной, при

то, полагая

видим, что и Определяя отсюда придем к формуле (2а).

Так как величина будет бесконечно малой высшего порядка, чем то, употребляя введенное в 60 обозначение, можно наши формулы переписать в виде

или

Замечание. До сих пор мы считали величина а и не определена была при Когда мы говорили, что при то (как обычно) предполагали, что стремится к 0 по любому закону, но не принимая нулевого значения. Положим теперь при тогда, разумеется, формула (2) сохранится и при Кроме того, соотношение при можно понимать и в более широком смысле, чем раньше, не исключая для возможности стремится к 0, принимая в числе прочих и нулевые значения.

Из доказанных формул непосредственно вытекает:

2° Если функция в точке имеет (конечную) производную, то в этой точке функция необходимо непрерывна.

Действительно, из (2а) ясно, что соотношение влечет за собой