201. Задачи.

Многие задачи — как из области математики, так и из других областей науки и техники - приводят к вопросу о нахождении наибольшего или наименьшего значения некоторой функции.

Решение задач связано с уже рассмотренными в предыдущем п° примерами.

1) Среди всех вписанных в данный круг радиуса треугольников найти тот, площадь которого наибольшая (рис. 107).

Если через обозначить центральные углы, опирающиеся на стороны треугольника, то они связаны зависимостью

откуда

Площадь треугольника Р через них выражается так:

Область изменения переменных х и у здесь определяется условиями: Нужно найти те значения переменных, которые сообщают выражению в скобках наибольшую величину.

Мы уже знаем [200, пример 1)], что это будут так что и получается равносторонний треугольник.

2) Среди всех треугольников данного периметра найти тот, площадь которого Р наибольшая.

Пусть х, у, z означают стороны треугольника; тогда по формуле Герона

Можно было бы, подставив сюда преобразовать Р к виду

и искать наибольшее значение этой функции в треугольной области, о которой уже была речь в 160, 6).

Мы поступим иначе: задача сводится к нахождению наибольшего значения для произведения положительных чисел

- при условии, что их сумма постоянна:

А мы уже знаем [200, пример 3)], что для этого все множители должны быть равны, так что Снова получается равносторонний треугольник.

3) Среди вписанных в данный эллипсоид

прямоугольных параллелепипедов (с ребрами, параллельными осям его) найти тот, который имеет наибольший объем.

Если через х, у, z обозначить коор динаты той из вершин, которая лежит в первом координатном трехгранном угле, то объем Вместо можно рассмотреть величину

ибо они, очевидно, достигают своих наибольших значений при одних и тех же х, у, z. По отношению же к и вопрос снова приводится к примеру 3) предыдущего п°, Ответ:

4) Предположим, что какой-нибудь газ (например, воздух) сжимается в поршневом компрессоре от атмосферного давления до давления Работа, затрачиваемая при этом на сжатие 1 моля газа, выразится так:

здесь есть «газовая постоянная», - абсолютная температура газа до сжатия, а у есть некоторое число зависящее от конструкции компрессора. Работа А, очевидно, тем меньше, чем меньше начальная температура При больших степенях сжатия, когда экономия в затрачиваемой работе представляет важность, разбивают весь процесс сжатия на несколько ступеней, в промежутках подвергая сжатый (и нагревающийся вместе с тем) газ - охлаждению.

Пусть, например, мы имеем трехступенчатый компрессор с двумя промежуточными холодильниками, в которых температура доводится снова до Если обозначить через давления в конце первой и второй ступеней, то общая работа сжатия теперь будет

Тогда возникает вопрос, как при заданных выбрать промежуточные давления с таким расчетом, чтобы величина затрачиваемой работы была наименьшей.

Если отбросить постоянный множитель и постоянные слагаемые, которые не влияют на искомые величины то дело сведется к исследованию выражения

Так как произведение

сохраняет постоянную величину, то, воспользовавшись примером 4), 200, сразу видим, что сумма и достигает своего наименьшего значения тогда, когда все слагаемые равны:

или

так что последовательные давления составляют геометрическую прогрессию.

Рис. 108.

Отсюда

5) На плоскости дан треугольник со сторонами с (рис. 108); на нем можно построить бесчисленное множество пирамид с данной высотой А. Требуется из них найти ту, которая имеет наименьшую боковую поверхность

Вопрос сводится к нахождению проекции М вершины пирамиды. Положение ее определяется величинами трех перпендикуляров х, у, z, опущенных, соответственно, на стороны с. Каждому перпендикуляру мы приписываем знак плюс если точка лежит с той же стороны, что и сам треугольник, и знак минус в противном случае. Величины х, у, z связаны соотношением (Р означает площадь треугольника)

Интересующая нас боковая поверхность S выразится теперь так:

где должно быть заменено найденным выражением; областью изменения независимых переменных х, у является вся плоскость . Имеем

или

Соответствующая точка М есть центр вписанного в треугольник круга.

Что этим значениям х и у отвечает наименьшее значение для легко показать как в примере 4) предыдущего п°, опираясь на то, что - при безграничном возрастании х или у - и S растет до бесконечности.

6) Пусть даны на плоскости три точки не лежащие на одной прямой. Требуется найти в этой плоскости такую точку, чтобы сумма ее расстояний до данных точек была наименьшей.

Взяв любую точку положим

Тогда исследованию подлежит функция

Для нее существуют - везде, кроме данных точек, - частные производные

где означает угол прямой с осью х.

«Подозрительными» по экстремуму точками являются, таким образом, прежде всего точки в которых производных нет, а затем та точка (мы увидим, что она не всегда существует), в которой производные зараз обращаются в 0. Так как при бесконечном возрастании х или у наша функция и, очевидно, также бесконечно растет, то наименьшего значения она достигает в одной из упомянутых точек.

Чтобы разыскать стационарную точку приравняем нулю обе частные производные; это даст нам условия:

Умножим первое на а второе на и вычтем; мы получим

Аналогично найдем, что

Таким образом, углы между прямыми взятыми попарно, все должны быть равны и точка получается в пересечении дуг, построенных на сторонах треугольника и вмещающих угол

Рис. 109.

Если в этом треугольнике нет угла, большего или равного то названные дуги, действительно, пересекаются внутри треугольника и определяют точку из которой стороны его видны под углами, равными — (рис. 109). В этом случае надлежит сравнить значения, которые и получает в названных четырех точках.

Мы докажем, что значение и в стационарной точке будет меньше других (а значит, и вообще наименьшим). Действительно, по «теореме косинусов»

так что

Аналогично

Складывая, получим

т. е.

Очевидно, точка здесь может быть заменена точкой или что и завершает доказательство.

Иначе обстоит дело, если один из углов треугольника равен или больше — Тогда стационарной точки вовсе не существует и наименьшее значение функции и доставляется одной из данных точек - именно той, которая служит вершиной тупого угла.

Любопытной особенностью этой задачи является именно то, что в ней приходится, кроме стационарной точки, считаться и с точками, в которых производных не существует [ср. 196, замечание II].

7) Обобщим задачу 1): станем искать вписанный в данный круг (радиуса R) (-угольник с наибольшей площадью Р.

Обозначим через центральные углы, которые опираются на стороны многоугольника; тогда

откуда

Площадь Р равна

если подставить вместо его выражение, то вопрос сведется к разысканию наибольшего значения для функции

причем область изменения независимых переменных определяется неравенством

т. е. представляет собой -мерный симплекс [162].

По общему правилу вычисляем производные и приравниваем их нулю:

единственной внутренней точкой области, в которой выполняются эти условия, будет точка

ей отвечает .

Для того чтобы доказать, что это, действительно, будет наибольшим значением и, воспользуемся методом математической индукции. При наше утверждение уже установлено в примере 1) предыдущего п°. Допустим, что оно верно для случая слагаемых синусов (так что для их суммы наибольшим значением будет и докажем верность его и для нашей суммы синусов.

Согласно общим указаниям, сделанным выше, надлежит сравнить значение значениями, которые функция принимает на границе области Возьмем, например, «грань симплекса» на ней и будет функцией лишь от переменных:

и, по допущению, наибольшим значением здесь будет То же можно установить и для других «граней». Но так как

то наше утверждение доказано. Наибольшую площадь будет иметь правильный многоугольник.

8) Рассмотрим электрическую питательную сеть с параллельным включением. На рис. 110 представлена схема сети причем А и В - зажимы источника тока и — приемники тока, потребляющие, соответственно, токи Требуется, при наперед заданном допустимом общем падении потенциала в цепи , определить сечения проводов так, чтобы на всю магистраль пошло наименьшее количество меди.

Очевидно, достаточно ограничиться рассмотрением одного из проводов, скажем так как другой провод находится в совершенно аналогичных условиях. Обозначим через длины частей через площади их поперечных сечений Тогда выражение

как раз и представит объем всей затраченной меди (в для него нам нужно добиться наименьшей величины, принимая во внимание, что общее падение потенциала в проводе должно равняться е.

Рис. 110.

Легко подсчитать, какие токи будут протекать в отрезках цепи:

Ваш обозначить через о сопротивление медной проволоки длиной в с сечением в то сопротивления этих отрезков будут

так что соответствующие падения потенциала в этих отрезках, согласно закону Ома, выразятся так:

Чтобы избежать сложных выкладок, мы, вместо переменных введем именно эти величины связанные простым условием

Тогда, в свою очередь,

и

причем область изменения независимых переменных определяется неравенствами

(открытый симплекс).

Приравнивания нулю производные и по всем переменным, получим систему уравнений

откуда (снова вводя

Удобно обозначить общую величину всех этих отношений через . Тогда

причем легко определяется из условия

Так как, при приближении точки к границе области, и растет до бесконечности, то найденные значения действительно доставляют функции и наименьшее значение.

Наконец, возвращаясь к нашим основным переменным ди находим

так что наивыгоднейшие сечения проводов оказываются пропорциональными корням квадратным из соответствующих сил тока.

9) Метод наименьших квадратов. Так называется очень распространенный метод обработки наблюдений, суть которого заключается в следующем.

Пусть требуется определить значения трех величин х, у, z, если для них установлено линейных уравнений

причем некоторые из коэффициентов получены опытным путем и известны лишь по приближению. При этом мы предположим, что хоть какие-нибудь три из этих уравнений имеют определитель, отличный от нуля: например, пусть

Однако вычисленные из первых трех уравнений значения х, у, z, вообще говоря, не будут точно удовлетворять остальным (либо ввиду неизбежных погрешностей в коэффициентах уравнений, либо вследствие того, что сами равенства оказываются лишь приближенными). Не имея оснований предпочесть одни уравнения другим и считаясь с неизбежностью погрешностей

какие бы ни брать значения х, у, z, стараются достичь лишь того, чтобы сумма квадратов этих погрешностей

была наименьшей (отсюда и название метода). Иными словами, наилучше согласующимися с результатами опыта считаются те значения х, у, z, которые доставляют наименьшую величину функции

По общему правилу, чтобы найти эти значения, приравниваем нулю производные от по

Гаусс (С. F. Gauss) ввел другие обозначения сумм однотипных слагаемых, разнящихся лишь указателями; именно, он пишет

В обозначениях Гаусса полученные для определения значений х, у, z уравнения перепишутся так:

их называют нормальными уравнениями.

Для того чтобы быть уверенными, что этими уравнениями однозначно определятся значения х, у, z, нужно установить, что определитель системы отличен от нуля. Но по известной теореме алгебры, квадрат этого определителя представляется в виде

причем суммирование распространяется на всевозможные сочетания из значков по три. Так как из всех определителей справа, по нашему предположению, хоть один отличен от нуля, то отсюда и следует, что определитель слева также не нуль.

Остается еще убедиться в том, что определяемые из нормальных уравнений значения переменных действительно доставляют функции наименьшее значение. Для этого достаточно, например, установить, что вне сферы достаточно большого радиуса будет сколь угодно велико.

С этой целью рассмотрим значения первых трех скобок в выражении

Ввиду (14) через эти значения, в свою очередь, линейно выражаются, с вполне определенными постоянными коэффициентами, и х, у, z, так что, пока все три величины остаются ограниченными, ограниченными необходимо будут сами х, у, z. Отсюда уже ясно, что при бесконечном возрастании также растет до бесконечности и (а следовательно, и W).