42. Наибольший и наименьший пределы.

Итак, для любой варианты будь она ограничена или нет, существуют частичные пределы. Мы покажем сейчас, что среди этих частичных пределов необходимо найдутся наибольший и наименьший; они называются наибольшим и наименьшим пределами самой варианты и обозначаются, соответственно, через

Теорема. Наибольший и наименьший пределы для варианты всегда существуют. Их равенство есть условие, необходимое и достаточное для существования предела варианты (в обычном смысле).

Доказательство. Начнем с рассмотрения вопроса о наибольшем пределе. Мы уже видели выше [40], что если варианта не ограничена сверху, то из последовательности (1) ее значений можно выделить такую частичную последовательность что

Таким образом, в этом случае является одним из частичных пределов варианты, и, очевидно, наибольшим из всех возможных, так что

Предположим же теперь, что варианта ограничена сверху:

Рассмотрим точную верхнюю границу значений для :

При возрастании к значение может разве лишь уменьшаться, следовательно, по теореме о монотонной варианте [34], во всяком случае существует предел (при возрастании к до бесконечности)

конечный или равный

Случай, когда этот предел есть также исчерпывается просто. Для любого найдется такой номер что

но для очевидно, так что при указанных значениях и подавно

А это означает, что существует предел (в обычном смысле)

который одновременно будет и наибольшим и наименьшим.

Остается рассмотреть самый важный случай, когда существует конечный предел:

мы покажем, что это число М и будет искомым наибольшим пределом для варианты

С этой целью установим два характерных свойства числа М. Если произвольно взять число к то найдется такое что так как, при то и подавно . Итак, имеем

I свойство числа каково бы ни было существует такой номер что для всех будет

С другой стороны, при произвольном и любом к будет

Но тогда, по свойству точной верхней границы [11], среди значений с номерами найдется такое значение что и Заменяя произвольно взятое к на сформулируем

II свойство числа М: каковы бы ни были и помер найдется значение с номером такое, что

Подчеркнем разницу в формулировках обоих свойств. В первом случае неравенство выполняется для всех значений сплошь, начиная с некоторого. Во втором же случае неравенству удовлетворяют лишь отдельные значения среди которых, однако, имеются значения со сколь угодно большими номерами.

Прежде всего, опираясь на эти свойства, докажем, что число М служит частичным пределом для варианты Для этого нужно выделить частичную последовательность сходящуюся к

Возьмем последовательность положительных чисел Положив допустим, что номера

уже выбраны, и покажем, как выбрать . По I свойству для найдем соответствующий номер такой, что для всех будет . Теперь обратимся ко II свойству, полагая по-прежнему , а за взяв наибольший из номеров этому выбору чисел и и отвечает номер . Для него, с одной стороны,

с другой же, так как одновременно будет и

Отметим, кроме того, что

Для элементов построенной таким путем — индуктивно - последовательности будем иметь

так что, действительно,

Наконец, установим, что ни один частичный предел не может превзойти М. В самом деле, пусть для некоторой частичной последовательности имеем так что а есть один из частичных пределов. По I свойству для достаточно далеких номеров (уже больших, чем ) будет

Переходя здесь к пределу, получим и, ввиду произвольности окончательно.

Таким образом, М действительно будет наибольшим из всех частичных пределов, т. е.

Аналогично устанавливается существование наименьшего предела. Не повторяя всех рассуждений, отметим следующие два обстоятельства.

Если этот наименьший предел есть то существует предел в обычном смысле

Если же наименьший предел есть конечное число

то оно обладает свойствами, аналогичными указанным выше для

I свойство числа М: каково бы ни было в существует такой номер что для будет

II свойство числа каковы бы ни были а номер тйдется значение с номером такое, что

Обратимся к доказательству заключительного утверждения теоремы. Если существует предел в обычном смысле слова

(конечный или бесконечный), то все мыслимые частичные пределы с ним сливаются [40], так что необходимость высказанного условия очевидна.

Предположим теперь, что

Если их общее значение есть или то, как мы видели, существует предел варианты в обычном смысле и имеет то же значение.

Пусть, наконец, оба предела конечны:

Тогда, сопоставляя I свойства чисел , найдем по наперед заданному в такой номер что для будет

А это и значит, что а есть предел варианты в обычном смысле. Теорема доказана.

Заметим, что с помощью этой теоремы совсем уж просто доказывается достаточность условия Больцано - Коши [39]. Именно (если сохранить прежние обозначения), из неравенств

непосредственно усматриваем, что наибольший и наименьший пределы варианты конечны и разнятся не более, чем на 2е, следовательно, ввиду произвольности совпадают. Отсюда и вытекает существование конечного предела в обычном смысле.