§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел

6. Определение иррационального числа.

Множество рациональных чисел со всеми их свойствами, перечисленными в § 1, считается данным.

Мы изложим теорию иррациональных чисел, следуя Дедекинду (R. Dedekind). В основе этой теории лежит понятие о сечении в области рациональных чисел. Рассмотрим разбиение множества всех рациональных чисел на два не пустые (т. е. действительно содержащие хоть по одному числу) множества А, А. Мы будем называть такое разбиение сечением, если выполняются условия:

1° каждое рациональное число попадает в одно, и только в одно, из множеств А или А;

2° каждое число а множества А меньше каждого числа а множества А.

Множество А называется нижним классом сечения, множество А - верхним классом. Сечение будем обозначать

Из определения сечения следует, что всякое рациональное число, меньшее числа а нижнего класса, также принадлежит нижнему классу. Аналогично, всякое рациональное число, большее числа а верхнего класса, и само принадлежит верхнему классу.

Пример 1. Определим А как множество всех рациональных чисел а, удовлетворяющих неравенству 1, а к множеству А причислим все числа а, для которых .

Легко проверить, что таким образом мы действительно получим сечение. Число 1 принадлежит классу А и является, очевидно, в нем наименьшим числом. С другой стороны, нет наибольшего числа в классе А, так как, какое бы число а из А мы ни взяли, всегда можно

указать рациональное число лежащее между ним и единицей, следовательно, большее а и тоже принадлежащее классу А.

Пример 2. К нижнему классу А отнесем все рациональные числа а, меньшие или равные к верхнему - рациональные числа а, большие

Это также будет сечение, причем здесь в верхнем классе нет наименьшего числа, а в нижнем есть наибольшее (именно, 1).

Пример 3. Отнесем к классу А все положительные рациональные числа а, для которых число 0 и все отрицательные рациональные числа, а к классу А - все положительные рациональные числа а, для которых

Как легко убедиться, мы опять получили сечение. Здесь ни в классе А нет наибольшего числа, ни в классе А - наименьшего. Докажем, например, первое из этих утверждений (второе доказывается аналогично). Пусть а - любое положительное число класса А, тогда Покажем, что можно подобрать такое целое положительное и, что

так что и число а будет принадлежать классу А.

Это неравенство равносильно таким:

Последнее неравенство и подавно будет выполнено, если удовлетворит неравенству для чего достаточно взять

а это всегда возможно [по «аксиоме Архимеда», IV Итак, каково бы ни было положительное число а из класса А, в этом же классе А найдется большее его число; так как для чисел 0 это утверждение непосредственно очевидно, то никакое число класса А не является в нем наибольшим.

Легко понять, что не может существовать сечение, для которого одновременно в нижнем классе нашлось бы наибольшее число а в верхнем классе — наименьшее Пусть, в самом деле, такое сечение существует. Возьмем тогда, пользуясь плотностью ласта рациональных чисел любое рациональное число с, заключающееся между Число с не может принадлежат! классу А, ибо иначе не было бы наибольшим числом в этом классе и по аналогичной причине с не может принадлежать классу это противоречит свойству 1° сечения, входящему в определен» этого понятия.

Таким образом, сечения могут быть только трех видов, иллюстрируемых как раз примерами 1, 2, 3:

1) либо в нижнем классе А нет наибольшего числа, а в верхнем классе А есть наименьшее число

2) либо в нижнем классе А имеется наибольшее число а в верхнем классе нет наименьшего;

3) либо, наконец, ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем классе - наименьшего.

В первых двух случаях мы говорим, что сечение производится рациональным числом (которое является пограничным между классами А и А) или что сечение определяет рациональное число . В примерах 1, 2 таким числом была 1. В третьем случае пограничного числа не существует, сечение не определяет никакого рационального числа. Введем теперь новые объекты - иррациональные числа, условившись говорить, что всякое сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число а. Это число а заменяет недостающее пограничное число, мы как бы вставляем его между всеми числами а класса А и всеми числами а класса А. В примере 3) это вновь созданное число, как легко догадаться, и будет

Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обозначений мы неизменно будем связывать иррациональное число а с тем сечением в области рациональных чисел, которое его определяет.

Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу Но для каждого числа существует два определяющих его сечения: в обоих случаях числа относятся к нижнему классу, числа же - к верхнему, но само число можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда там будет наибольшим), либо в верхний (и там будет наименьшим). Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число включать это число в верхний класс.

Числа рациональные и иррациональные получили общее название вещественных (или действительных) чисел. Понятие вещественного числа является одним из основных понятий математического анализа.