88. Лемма Бореля.

Мы докажем сейчас одно интересное вспомогательное утверждение, которое - подобно лемме Больцано —

— Вейерштрасса - может быть полезно при проведении многих тонких рассуждений; оно принадлежит Борелю (Е. Borel).

Рассмотрим, наряду с промежутком еще некоторую систему 2 открытых промежутков а, которая может быть как конечной, так и бесконечной. Условимся говорить, что система 2 покрывает промежуток (или что этот промежуток покрывается системой если для каждой точки х промежутка найдется в 2 промежуток а, содержащий ее. Этот способ речи облегчит нам формулировку и доказательство упомянутого утверждения.

Лемма Бореля. Если замкнутый промежуток покрывается бесконечной системой открытых промежутков, то из неё всегда можно выделить конечную подсистему

которая также покрывает весь промежуток

I-е доказательство поведем от противного, применив метод Больцано [41]. Допустим же, что промежуток не может быть покрыт конечным числом промежутков а из 2- Разделим промежуток пополам. Тогда хоть одна из половин его тоже не может быть покрыта конечным числом действительно, если бы одна из них могла быть покрыта промежутками а другая - промежутками то из всех этих промежутков составилась бы конечная система 2, покрывающая уже весь промежуток вопреки допущению. Обозначим через ту половину промежутка, которая не покрывается конечным числом а (если же обе таковы, то - любую из них). Этот промежуток снова разделим пополам и обозначим через ту из его половин, которую нельзя покрыть конечным числом и т. д.

Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим бесконечную последовательность вложенных промежутков каждый из которых составляет половину предшествующего. Промежутки эти все выбираются так, что ни один из них не покрывается конечным числом промежутков а. По лемме о вложенных промежутках [38], существует общая им всем точка с, к которой стремятся концы

Эта точка с, как и всякая точка промежутка лежит в одном из промежутков а, скажем в так что Но варианты стремящиеся к с, начиная с некоторого номера будут сами содержаться между а и так что определяемый ими промежуток окажется покрытым всего лишь одним промежутком вопреки самому выбору этих промежутков Полученное противоречие и доказывает лемму.

Приведем еще одно доказательство, построенное на новой идее; она принадлежит Лебегу (Н. Lebesgue).

II-е доказательство. Рассмотрим точки промежутка обладающие тем свойством, что промежуток покрывается

конечным числом промежутков а. Такие точки х, вообще, найдутся: так как, например, точка а лежит в одном из а, то и все близлежащие к ней точки содержатся в этом а и, следовательно, оказываются точками х.

Нашей задачей является установить, что и точка принадлежит к числу точек х.

Так как все то существует [11] и

Как и всякая точка промежутка с принадлежит некоторому Но, по свойству точной верхней границы, найдется такое, что Промежуток покрывается конечным числом промежутков а (по самому определению точек если к этим промежуткам присоединить еще лишь один промежуток то покроется и весь промежуток , так что с есть одна из точек х.

Вместе с тем, ясно, что с не может быть ибо иначе между с и нашлись бы еще точки х, вопреки определению числа с как верхней границы всех х. Таким образом, необходимо значит есть одно из х, т. е. промежуток покрывается конечным числом промежутков , ч. и тр. д.

Заметим, что для справедливости заключения леммы в равной мере существенно как предположение о замкнутости основного промежутка так и предположение о том, что промежутки а, составляющие систему - открытые. Например, система открытых промежутков

покрывает промежуток (0, 1], но из них нельзя выделить конечной подсистемы с тем же свойством. Аналогично, система замкнутых промежутков

покрывает промежуток [0,2], но и здесь выделение конечной подсистемы невозможно.