3. Сложение и вычитание рациональных чисел.

Вторая группа свойств связана со сложением, т. е. с операцией нахождения суммы двух чисел. Для каждой пары чисел а и существует (единственное) число, называемое суммой (его обозначают ). Это понятие обладает свойствами:

II (переместительное свойство сложения),

II 2° (сочетательное свойство сложения).

Особая роль нуля характеризуется свойством:

кроме того,

II 4° для каждого числа а существует число — а (симметричное ему), такое, что

На основе этих свойств, прежде всего, исчерпывается вопрос о вычитании, как действии, обратном сложению. Если разностью чисел а и как обычно, называть такое число с, для которого с то встаёт вопрос о существовании такого числа и о его единственности.

Положив получим [II 2°, 1°, 4°, 3°]:

так что это число с удовлетворяет определению разности.

Пусть, обратно, с есть разность чисел а и так что с Прибавив к обеим частям этого равенства по и преобразуя левую часть [II 2°, 4°, 3°]:

заключим, что

Таким образом, доказаны существование и однозначность разности чисел а и обозначают её

Из однозначности разности вытекает ряд следствий. Прежде всего, из II 3° следует и мы заключаем, что, кроме числа 0, не существует числа, которое обладало бы свойством, аналогичным II 3°. Далее, отсюда же вытекает единственность числа, симметричного данному:

Так как из следует то оказывается, что т. е. числа являются взаимно симметричными. Установим ещё такое свойство симметричных чисел:

для этого достаточно доказать, что

а это вытекает из II 1°, 2°, 4°, 3°.

Наконец, приведём ещё одно свойство, связывающее знак со знаком суммы:

II 5° из следует

Оно устанавливает право к обеим частям неравенства прибавлять поровну; с его помощью доказывается равносильность неравенств

Далее, из следует . Действительно, влечет за собой но

так что неравенство это можно переписать так: откуда или

В частности, из следует и из 0 следует Если то из двух взаимно симметричных чисел а, -а одно (и только одно) будет больше 0; его именно и называют абсолютной величиной как числа а, так и числа - а, и обозначают символом

Абсолютную величину числа нуль полагают равной нулю:

На свойстве II 5° основывается возможность почленного складывания неравенств: из следует . В самом деле, из следует ; в свою очередь, из обследует или а тогда, в силу I 2°, окончательно получаем