132. Условие монотонности функции.

Выясним теперь, как по производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции в данном промежутке. Остановимся сначала на случае функции, монотонно возрастающей в широком смысле, т. е. не убывающей (или монотонно убывающей в широком смысле, т. е. не возрастающей) [57].

Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X и внутри него имеет конечную производную Для того чтобы была в X монотонно возрастающей (убывающей) в широком смысле, необходимо и достаточно условие

Необходимость. Если монотонно возрастает, хотя бы в широком смысле, то, взяв х внутри X и придав ему приращение будем иметь:

и в пределе, при получим

Достаточность. Пусть теперь, обратно, дано, что внутри X. Возьмем два значения из промежутка X и к функции в промежутке применим формулу Лагранжа:

Так как , то

и функция будет возрастающей, по крайней мере, в широком смысле.

До сих пор для функции не была исключена возможность сохранять в некоторых промежутках и постоянные значения, а для

ее производной - обращаться в этих промежутках тождественно в 0. Если мы эту возможность исключим, то придем к случаю возрастания (или убывания) в строгом смысле.

Теорема 3. При сохранении тех же предположений относительно непрерывности функции и существования ее производной для того чтобы была монотонно возрастающей (убывающей) в строгом смысле, необходимы и достаточны условия:

для х внутри X.

не обращается тождественно в 0 ни в каком промежутке, составляющем часть X.

Необходимость. Если возрастает в промежутке X, то по теореме 2 имеем , так что условие 1) выполняется. Выполняется и условие 2), так как, если бы производная обращалась в 0 в некотором промежутке сплошь, то по теореме 1 в нем была бы постоянной, что противоречило бы предположению.

Достаточность. Пусть выполняются условия 1), 2) теоремы. Тогда, в силу теоремы 2, функция является, во всяком случае, неубывающей. Если взять в X два значения то будем иметь не только

но и

Докажем, что знак равенства в (1) на деле осуществиться не может. Если бы было то, ввиду (2), получили бы

т. е. функция была бы постоянной в промежутке и мы имели бы в этом промежутке сплошь, вопреки условию 2). Итак,

т. е. функция в строгом смысле, возрастает. Этим теорема доказана.

Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически совершенно очевидна, если вспомнить [91, 92], что производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею - идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис. 54).

Однако в отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, т. е. производная - даже в строгом смысле - возрастающей (убывающей) функции может для отдельных значений х обращаться в 0.

Примеры. 1) Простейший пример последнего обстоятельства доставляет функция она возрастает, и тем не менее производная ее при обращается в 0.

2) Аналогично, возрастающей будет и функция

ибо ее производная

не отрицательна, обращаясь в 0 для значений

Рис. 54.

3) Наконец, чтобы показать, что для возрастающей функции производная может даже в конечном промежутке обращаться в 0 бесконечное множество раз, рассмотрим функцию

Очевидно,

так что наша функция непрерывна и при Имеем, для

причем эта производная обращается в 0 при

Заметим, что

отсюда [113] и

Можно построить примеры возрастающих (убывающих) функций, для которых точки, где производная обращается в 0, распределены еще более сложным образом. Однако, подобные случаи встречаются редко, и для практических целей обычно пользуются таким достаточным признаком: если производная повсюду.

исключая разве лишь конечное число значений х, то функция будет возрастающей (убывающей).

Этот признак очень удобен в приложениях.

Для примера рассмотрим функцию при и докажем, что она возрастает. Достаточно доказать, что возрастает ее логарифм

Имеем

Так как, по формуле конечных приращений [112],

то возрастает, что и требуется доказать.