ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Варианта и ее предел

22. Переменная величина, варианта.

В физике и в других науках о природе читателю встречалось множество различных величин: время, длина, объем, вес и т. п. Любая из них, смотря по обстоятельствам, то принимала различные значения, то лишь одно. В первом случае мы имели дело с переменной величиной, а во втором - с постоянной.

В математике, однако, мы отвлекаемся от физического смысла рассматриваемой величины, интересуясь лишь числом, которым она выражается; физический смысл величины снова приобретает важность, лишь когда занимаются приложениями математики. Таким образом, для нас переменная величина (или короче - переменная) является отвлеченной или числовой переменной. Ее обозначают каким-либо символом (буквой, например, х), которому приписываются числовые значения.

Переменная считается заданной, если указано множество значений, которые она может принять. Постоянную величину (короче - постоянную) удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество состоит из одного элемента.

При установлении понятия предела переменной х недостаточно знать лишь, из какого числового множества X получает значения эта переменная; необходимо еще знать, какие именно значения (среди которых могут быть и повторяющиеся) и в каком порядке она принимает. Откладывая изложение вопроса о направленной переменной и ее пределе, в общей постановке, до конца следующего тома (когда у читателя накопится достаточный опыт в этой области), мы посвятим настоящую главу изучению одного, самого простого и вместе с тем важного, частного типа такой переменной величины.

Начнем с установления понятия числовой последовательности. Представим себе натуральный ряд:

в котором числа расположены в порядке возрастания, так что большее число следует за меньшим числом меньшее число предшествует большему числу Если теперь заменить в ряде (1), по какому-нибудь закону, каждое натуральное число некоторым вещественным числом то получится числовая последовательность:

члены или элементы которой занумерованы всеми натуральными числами и расположены в порядке возрастания номеров. При ичлен следует за членом предшествует независимо от того, будет ли само число больше, меньше или даже равно числу

Переменную х, принимающую некоторую последовательность (2) значений, мы - следуя Мерэ (Ch. Maray) - будем называть вариантой. Это и есть тот тип переменной, рассмотрением которого мы здесь ограничиваемся.

В школьном курсе математики читателю встречались переменные именно типа варианты. Ему знакома, например, последовательность вида

(арифметическая прогрессия) или вида

(геометрическая прогрессия); переменный член той и другой прогрессии есть варианта.

В связи с определением длины окружности обычно рассматривается переменный периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон; таким образом, эта варианта принимает последовательность значений:

Упомянем еще о десятичном приближении (скажем, по недостатку) к со все возрастающей точностью; оно принимает последовательность значений:

и также представляет собой варианту.

Переменную х, пробегающую последовательность (2), часто обозначают через отождествляя ее с переменным («общим») членом этой последовательности.

Иногда варианта х задается тем, что указывается непосредственно выражение для так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, или Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значение варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.

Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если ввести число я; вообще периметр правильного вписанного -угольника дается формулой

В других случаях нам может быть неизвестно выражение для общего члена последовательности (2). Тем не менее, последовательность (2), а с нею и отвечающая ей варианта, считается заданной, если мы все же владеем правилом, по которому может быть вычислено любое значение варианты, лишь только известен его номер. Поэтому-то, зная правило для приближенного вычисления корней, мы можем считать заданной всю последовательность десятичных приближений к хотя выражения для его общего члена мы не знаем.

Если варианта - в указанном смысле - задана, то этим не только охарактеризовано все множество принимаемых ею значений в целом, но и определен порядок, в котором эти значения принимаются; каждому номеру отвечает свое значение варианты, и из двух значений то считается следующим, номер которого больше.

Ещё раз подчеркнем, что значения варианты не должны быть обязательно различными. Например, если задать варианту одной из формул:

то соответствующие последовательности будут:

В первом случае мы имеем просто постоянную величину, все «множество» принимаемых ею значений сводится к одному. Во втором -

это множество состоит из двух значений, принимаемых поочередно. Наконец, в третьем случае множество значений переменной бесконечно, но это не мешает значениям переменной через одно равняться 0; и мы считаем, что значение 0 на пятом месте следует не только за значением 1 на втором месте, но и за значением 0 на первом месте.