203. Умножение якобианов.

Кроме системы функций (1), возьмем систему функций

определенных и имеющих непрерывные частные производные в области . Пусть при изменении точки соответствующая точка не выходит из области так что можно рассматривать как сложные функции от через посредство

Умножим теперь якобиан системы (1) на якобиан системы (2):

Из теории определителей нам известна теорема об умножении определителей, выражающаяся формулой

где общий элемент последнего определителя такой:

(умножение по правилу «строка на столбец»). Применяя эту формулу к функциональным определителям, получим

Замечая, что, по формуле для производной сложной функции, общий элемент этого определителя есть

мы можем последний определитель переписать в виде

Доказанное только что первое свойство якобиана в кратких обозначениях можно переписать так:

Если бы имели одну функцию у от х, где х есть функция от t, то получили бы известную формулу для производной сложной функции: таким образом, выведенное свойство якобианов является обобщением формулы для производной сложной функции.

Отметим особо тот случай, когда переменные тождественны с так что система функций (2) есть результат обращения системы (1). Тогда полученное соотношение сведется к следующему:

или

В этом виде оно напоминает формулу для производной обратной функции.