156. Примеры в упражнения.

В этом п° мы будем пользоваться исключительно методом касательных.

1) Вычислить с точностью до 0,01 корень уравнения

зная, что он содержится в промежутке (3, 4) [ср. 154].

Имеем:

(случай 1); наименьшее значение есть

Отправляемся от того из кондов заданного промежутка для которого знак функции совпадает со знаком По формуле (8)

округляя, положим . Так как то, по неравенству (6), , т. е. достигнутая точность недостаточна. Далее,

положим, На этот раз так что, 0,042 в силу (6), Поэтому с требуемой точностью.

Рис. 85.

(Получение этого же результата в 154 по методу хорд потребовало трех шагов.)

2) Для второго примера предложим себе решить уравнение

Воспользуемся этим случаем, чтобы пояснить читателю, как графическое изображение функций может служить для предварительной ориентировки в расположении корней уравнения. Значение х, удовлетворяющее уравнению

очевидно, представляет абсциссу точки пересечения кривых

Даже грубое их изображение (рис. 85) сразу показывает, что искомый корень лежит между 2 и 3. Это легко теперь проверить и вычислением, ибо, полагая имеем

Вычислим упомянутый корень с точностью до 0,0001.

Очевидно, при

(случай I); можно положить

Так как именно имеет тот же знак, что и то, по формуле (8),

положим Имеем так что

Далее,

возьмем - Оценим, по неравенству (6), погрешность:

т. е. . В таком случае имеем, с уже требуемой точностью,

[На деле 2,5062 является избыточным приближенным значением для ибо

3) Вернемся к уравнению

о котором уже была речь в 81. Мы видели там, что между 0 и 0,5 заключен корень этого уравнения. Это обстоятельство также легко было бы заметить с помощью графиков функций на рис. 86 ясно видно, что эти кривые, кроме точки с абсциссой 4, пересекаются еще в некоторой точке с абсциссой между 0 и 0,5. Предложим себе вычислить этот корень с точностью до 0,00001.

Рис. 86.

Имеем для

(случай 11). Здесь Так как имеет одинаковый знак с то начинаем с . В силу (6), погрешность этого приближенного значения а тогда, в силу (11), можно наперед оценить погрешность:

Поэтому вычисленное по формуле (8 значение

округляем на втором знаке: . Пользуясь значением но неравенству (6), точнее оцениваем погрешность:

а тогда, по (11),

так что приближаемся к требуемой точности. Следующее приближение:

округляем на пятом знаке «в сторону корня» Так как , то это значение все же меньше корня. Погрешность же его, в силу (6), на деле оказывается

так что, окончательно,

Рис. 87.

4) Уравнение

имеет бесчисленное множество корней. Это можно сразу усмотреть из рис. 87 - по бесчисленному множеству точек пересечения графика тангенса с прямой Предложим себе вычислить наименьший положительный корень этого уравнения, который содержится между —

Так как при — тангенс обращается в бесконечность, то предложенное уравнение удобнее представить в виде

Имеем:

(случай IV). Начинаем с получим

Здесь мы сталкиваемся со следующим обстоятельством: в таблицах тригонометрических величин (и их логарифмов) углы указываются в градусах, минутах

и секундах; поэтому округление поправки нам удобнее делать именно в этих единицах. Мы возьмем что отвечает несколько большему числу (округление в «сторону корня»), так что

Далее,

Продолжаем:

округляем поправку до и берем

Так как

Таким образом

и можно положить

5) Сила метода Ньютона особенно проявляется, когда промежуток, содержащий корень, достаточно сужен. Вычислим в заключение с большой точностью, скажем, до корень уравнения исходя из промежутка (2; 2,1), в котором он содержится.

Здесь:

(случай I). Легко подсчитать, что так что

Начинаем с По формуле (6): Теперь, пользуясь неравенством (11), мы заранее подсчитаем, какой точности можно ждать от

Поэтому число

округляем «в сторону корня» на пятом знаке: Так как то теперь, по формуле (6), можно точнее оценить погрешность:

Переходя к и снова прибегнув к (11), подсчитаем наперед:

Поэтому тесло

округленное на одиннадцатом знаке: все же отличается от искомого корня меньше, чем на 0,00000000007. Итак,