218. Примеры.

1) Пусть дано уравнение преобразовать его, полагая

По формулам (2) имеем

и уравнение примет более простой вид:

2) Преобразовать выражение

полагая

Под общую схему это преобразование подойдет, если написать По формулам (2)

С другой стороны, формула преобразования дает подставляя, найдем окончательно

3) Перестановка ролей переменных. Предположим, что независимая переменная х и функция от нее у обмениваются ролями; под общую схему это преобразование подойдет, если положить Поставим себе задачей выразить производные от у по х через производные от х по у. Снова прибегаем к формулам (2), заменяя t через у. Если учесть, что то сразу получим

Например, выражение , если применить к нему это преобразование, получит вид

Рис. 114.

4) Переход к полярным координатам. Если х, у рассматривать как прямоугольные координаты точки, то уравнение выразит кривую. Часто бывает полезно перейти к полярным координатам выражая кривую ее полярным уравнением Тогда, естественно, представляется необходимость, исходя из выражений различных геометрических элементов кривой через получить соответствующие выражения их через

Формулы преобразования в этом случае, как известно, имеют вид Дифференцируя их по 0 (причем учитываем, что есть функция от 0), получим

Отсюда, по формулам (2), найдем (подставляя 0 вместо ):

Таким образом, например, угловой коэффициент касательной будет

тангенс угла со, образованного касательной с продолженным радиусом-вектором (рис. 114),

теперь выразится простой формулой

в связи с чем при полярном задании кривой положение касательной предпочитают определять именно углом со.

Рассмотрим еще выражение

представляющее, как увидим ниже [в п° 251], важный геометрический элемент кривой («радиус кривизны»). Если подставить сюда найденные выше выражения для , то после упрощений получим

5) Преобразование Лежандра. Поставленную в предыдущем п° задачу замены переменных можно обобщить, допустив присутствие производных уже в формулах преобразования. Мы ограничимся одним примером этого рода:

это преобразование называется преобразованием Лежандра.

Продифференцируем вторую формулу преобразования по х, рассматривая слева и как функцию от х через посредство t (зависимость t от х дается первой формулой):

Отсюда (в предположении, что ). Таким образом, если учесть и обе формулы преобразования, имеем

чем выявляется взаимность преобразования: выражаются через совершенно так же, как эти последние величины выражаются через первые. Дифференцируя подобным же образом по формулу получим

Дальнейшее дифференцирование дает

Заметим, что если преобразование Лежандра истолковать геометрически как преобразование плоскости, то оно отнюдь не будет точечным преобразованием. Для определения координат и точки Р недостаточно знать координаты х, у точки М, но нужен и угловой коэффициент касательной в этой точке к рассматриваемой кривой Тем не менее, кривая преобразуется здесь снова в кривую, и касание сохраняется.