54. Примеры.

1) Докажем, что

При любом достаточно взять , чтобы

что. и доказывает наше утверждение

Аналогично доказывается, что

Именно, каково бы ни было если взять то

Если же то с помощью преобразования

легко установить результаты

2) Установим, что при

При любом заданном Озлишь только будем иметь: и аналогично, лишь только выполняется неравенство: Этим и доказаны оба соотношения.

3) Имеем, далее,

Остановимся для примера на первом пределе. При любом достаточно взять чтобы было: так что

4) Более тонким является соотношение:

Вспомним, что частный случай его мы уже имели:

[32, 9]; очевидно, одновременно будет и

Следовательно, по заданному найдётся такое натуральное число что при выполняется неравенство

Пусть теперь если положить то

так что

что и доказывает наше утверждение.

Отсюда, как и в 32, 9), легко получить

5) Аналогично, опираясь на прежний результат [32, 11)]

можно установить, что вообще

где х принимает любые положительные вещественные значения.

Заменяя здесь х на легко показать, что и

Действительно, если, задавшись произвольным взять так, чтобы при выполнялось неравенство

то при будет и

Если заменить здесь х на то полученный результат перепишется в виде

6) Из доказанного в 25, 5) предельного соотношения

можно получить более общее

Заметим, что, очевидно, и

Поэтому, каково бы ни было можно найти такое натуральное число что (если, скажем,

е.

Если теперь

то

откуда

что и доказывает высказанное утверждение.

7) Теперь мы установим следующий (важный и для дальнейшего) результат:

Предварительно, однако, нам придётся доказать некоторые полезные неравенства:

Черт. 22.

С этой целью в круге радиуса рассмотрим острый угол хорду и касательную к окружности в точке А (черт. 22). Тогда имеем:

Если через х обозначить радианную меру угла так что длина дуги выразится произведением то эти неравенства перепишутся так:

Отсюда — по сокращении на — и приходим к неравенствам (9).

В предположении, что разделим на каждый из членов неравенств (9). Мы получим:

откуда

Но

[в силу (9)], так что

Отсюда вытекает неравенство

которое, очевидно, сохранится и при изменении знака х, т. е. будет справедливо для всех лишь только

Полученное неравенство и решает вопрос. Действительно, если по произволу задано число то за достаточно выбрать наименьшее из чисел s и при прежде всего, применимо это неравенство (ведь а именно в силу него (так как

По определению предела функции [52], это и означает, что функция при стремлении х к 0 имеет предел 1, так что соотношение (8) оправдано.

7а) Предельное соотношение (8) может быть, в согласии с 53, понимаемо и так, что, лишь только х пробегает сходящуюся к нулю последовательность варианта будет всякий раз стремиться к 1.

Приложим это замечание к разысканию предела варианты

где — любое отличное от 0 число.

Очевидно,

так что интересующее нас выражение представится в виде

Так как то по сказанному выше

и предел нашей варианты оказывается равным числу

8) Сейчас мы изучим также очень важный предел. Именно, в 36 было определено число как предел варианты

Теперь же мы установим более общий результат:

а также и

Воспользуемся на этот раз вторым определением предела «на языке последовательностей» [53].

Прежде всего, напомним, что наряду с (10) имеет место и равенство

если есть произвольная последовательность натуральных чисел, растущих вместе с номером А: до бесконечности [40].

Пусть теперь х пробегает какую-нибудь последовательность значений, стремящихся к можно считать даже, что все Положим так что

Так как при этом

то

Два крайних выражения могут быть преобразованы так:

причем, в силу (12),

в то время как, очевидно,

таким образом, оба упомянутых выражения стремятся к общему пределу а тогда и заключенное между ними выражение также стремится к [по теореме 3°, 28]:

Этим и завершается доказательство соотношения (11) «на языке последовательностей».

Для доказательства же (11а) предположим теперь, что последовательность имеет пределом (причем можно считать все Если положить тогда (и все Очевидно,

Так как, по доказанному, первый множитель последнего выражения стремится к в, второй же, очевидно, имеет пределом 1, то и выражение слева также стремится к е. Формула (11а) оправдана.

Заменим теперь в выражении переменную х на если придать а последовательность положительных или отрицательных значений, стремящихся к 0 (но не равных 0), то - будет стремиться к Поэтому формулы (11) и (11а) можно переписать в виде

Этот замечательный результат лежит в основе всех приложений числа е.

9) Интересен, наконец, и пример, когда предел функции не существует: функция при стремлении к вовсе не имеет предела.

В отсутствии предела всего проще убедиться, стоя на «точке зрения последовательностей». Достаточно заметить, что двум последовательностям

значений х, имеющим пределом отвечают последовательности значений функции, стремящиеся к различным пределам:

[То же можно выразить и иначе: если взять последовательность

значений х, имеющую пределом то ей отвечает последовательность значений функции:

вовсе не имеющая предела.]

Если вспомнить «колебательный» характер синусоиды, то отсутствие предела в рассматриваемом случае станет наглядным.

Аналогично, и функция — при стремлении а к 0 (справа или слева) предела не имеет. Это, в сущности, лишь другая форма приведенного выше примера: стоит лишь в функции заменить х на Очевидно, если пробегает последовательность значений, приближающихся к 0 справа (слева), то стремится к и обратно.

Напишем снова в выражении — вместо буквы а букву х (чтобы вернуться к привычному обозначению абсциссы) и рассмотрим поучительный график функции

ограничиваясь значениями х от 0 до и от до

Отметим последовательно убывающие до 0 значения х:

им отвечают растущие до значения — :

В промежутках между указанными значениями (при убывании наша функция попеременно убывает от 1 до 0 и от 0 до -1, затем возрастает от -1 до 0 и от 0 до 1, и т. д.

Таким образом, функция — производит бесконечное множество колебаний, подобно функции но, в то время как для последней эти колебания распределяются на бесконечный промежуток, здесь они все умещаются в конечном промежутке, сгущаясь к 0.

График изображен на рис. 23 (разумеется, не полностью — бесконечное множество колебаний воспроизвести невозможно!). Так как при изменении знака меняет знак, то левая половина графика симметрична с правой относительно начала.

Рис. 23.

10) Если (для 0) рассмотреть функцию которая отличается множителем х от только что изученной функции то на этот раз предел при существует:

что сразу ясно из неравенства

При приближении х к 0 наша функция по-прежнему производит бесконечное множество колебаний, но их амплитуда (благодаря множеству убывает, стремясь к 0, чем и обеспечивается существование предела.

График функции

изображен на рис. 24; он умещается между двумя биссектрисами координатных углов.

Замечание. Мы имели ряд пределов

объединенных одной особенностью: ни одна из рассматриваемых здесь функций не определена при Но это нисколько не мешает говорить об их пределах

при ибо, согласно точному смыслу данного в 52 определения, как раз значение при этом не рассматривается.

Рис. 24.

Аналогично, то обстоятельство, что функция не имеет смысла при не мешает ставить вопрос об ее пределе при но на этот раз предел оказывается несуществующим.