179. Полный дифференциал.

В случае функции одной переменной, мы рассматривали в 103 вопрос о представимости ее приращения в виде

Оказалось [104], что для возможности такого представления необходимо и достаточно, чтобы существовала в точке конечная производная причем написанное равенство осуществляется именно при Линейную часть

приращения функции мы и называли ее дифференциалом,

Переходя к функции нескольких, например, трех переменных: определенной в некоторой (скажем, открытой) области , естественно поставить аналогичный вопрос о представимости приращения

где А, В и С - постоянные, а

Как и в 103, легко показать, что если имеет место разложение (4), то в точке существуют частные производные по каждой из переменных, причем

Действительно, например, полагая в получим

откуда и следует, что существует

Таким образом, соотношение (4) всегда осуществляется только в виде

или - в более короткой записи -

Однако, в то время как в случае функции одной переменной существования производной в рассматриваемой точке было уже и достаточно для наличия соотношения (3), в нашем случае существование частных производных

еще не обеспечивает разложения (4). Для случая функции двух переменных мы это видели на примере в предыдущем п°. Там же, в теореме, были указаны достаточные условия для выполнения соотношения (4): это - существование частных производных в окрестности точки и их непрерывность в этой точке. Впрочем, легко показать, что эти условия отнюдь не необходимы для формулы (5) или Это, собственно говоря, следует уже из того, что для функции одной переменной (которую, если угодно, можно рассматривать и как функцию от любого числа переменных) подобные условия не необходимы.

При наличии формулы (5) функция называется дифференцируемой в точке и (только в этом случае!) выражение

т. е. линейная часть приращения функции называется ее (полным) дифференциалом и обозначается символом или

В случае функции нескольких переменных утверждение: «функция дифференцируема» в данной точке, как видим, уже не равнозначаще с утверждением «функция имеет частные производные по всем переменным» в этой точке, но означает нечто большее. Впрочем, мы обычно будем предполагать существование и непрерывность частных производных, а это уже перекрывает дифференцируемость.

Под дифференциалами независимых переменных уславливаются разуметь произвольные приращения поэтому можно написать:

или

Полный дифференциал оказывается равным сумме частных дифференциалов [177].