209. Вычисление производных неявных функций.

Ход рассуждений, с помощью которых устанавливались теоремы существования неявных функций, в общем случае не давал представления о самом способе вычисления производных (первого порядка) от неявных функций. О производных высшего порядка и вовсе не было речи. Теперь на этих важных вопросах мы остановимся специально.

Начнем с простейшего случая, когда дано уравнение (1). Будем считать выполненными, в окрестности рассматриваемой точки, условия теоремы II; существенную роль в дальнейшем будет играть требование

Покажем простой прием для вычисления производной (если существование ее наперед известно). Мы знаем, что если неявную функцию подставить в уравнение (1), то оно обратится в тождество [см. (2), 205]. Итак, если под у разуметь именно эту функцию от х, то левая часть равенства (1), представит собой сложную функцию от х, которая тождественно равна нулю. Тогда и производная ее по х также есть нуль. Если продифференцировать эту функцию по правилу п° 181, то получим

откуда (так как

мы пришли к уже известной нам формуле [ср. (3) 206].

Теперь можем пойти дальше. Если функция имеет непрерывные производные второго порядка, то выражение, стоящее в формуле (15) справа, может быть продифференцировано по х, следовательно существует и производная от , т. е. вторая производная от неявной функции у. Выполняя дифференцирование и подставляя всякий раз вместо ее выражение (15), найдем

отсюда же видим, что вторая производная будет непрерывной функцией от х.

Если функция имеет непрерывные производные третьего порядка, то, очевидно, существует и третья производная от неявной функции: ее выражение снова может быть получено

непосредственным дифференцированием выражения для . С помощью математической индукции легко доказать, что существование непрерывных производных функции до порядка включительно обеспечивает и существование (непрерывной) производной порядка от неявной функции.

После того как, таким образом, самый факт существования последовательных производных от неявной функции установлен, вычисление их проще производить путем повторного дифференцирования тождества (14), с учетом того, что у есть функция от х. Например, первое же дифференцирование этого тождества даст нам

откуда (ведь

подставив вместо у его выражение (15), вернемся к уже найденному выражению для

Аналогично обстоит дело и в случае уравнения (4) с большим числом переменных. Здесь предполагаем выполненными условия теоремы III. Если под у разуметь неявную функцию, определяемую уравнением (4), то (4) превращается в тождество. Фиксируя значения и рассматривая у как функцию лишь от продифференцируем это тождество по

точно так же получим

Если нужны все производные первого, второго, порядка, то проще сразу вычислять Продифференцируем же наше тождество полным образом, т. е. приравняем нулю полный дифференциал от его левой части [используя при этом инвариантность формы первого дифференциала, 185]:

так что

В то же время

Ввиду произвольности отсюда ясно, что

как мы и получили выше.

Дифференцируя еще раз, получим

и определим что приведет нас к выражениям для

и т. д. Мы видим, что во всех этих выкладках основную роль играет условие, что

Перейдем теперь к рассмотрению системы уравнений (5). Будем предполагать, что в окрестности взятой точки выполняются условия теоремы IV. Снова обращаем внимание на роль, которую будет играть требование

Мы знаем, что неявные функции имеют частные производные по Самое вычисление их производится дифференцированием тождеств, которые получаются из (5), если под разуметь именно упомянутые неявные функции. Дифференцирование по например, дает

Это - система линейных уравнений относительно неизвестных , с отличным от нуля определителем

Отсюда

Аналогичные выражения получаются и для производных от по

Если функции имеют непрерывные частные производные второго порядка, то правые части всех полученных формул имеют (непрерывные) производные по всем аргументам, следовательно, существуют (непрерывные) вторые производные от неявных функций. Вообще (как это легко доказать индуктивно) существование для функций непрерывных производных до порядка включительно влечет за собой существование и непрерывность всех производных порядка и для неявных функций.

Вычисление производных от неявных функций и в общем случае также производится либо дифференцированием тождеств (5) по тем или другим переменным, либо дифференцированием их полным образом. Получаемая для определения производных или дифференциалов система линейных уравнений своим определителем всегда имеет отличный от нуля якобиан Эти замечания станут более ясными на примерах.