228. Параметрическое представление.

Перейдем, наконец, к параметрическому заданию поверхностей и кривых в пространстве, причем на этот раз начнем с кривых. Подобно тому как мы это делали на плоскости, координаты переменной точки пространственной кривой можно задать в функции от некоторой вспомогательной переменной - параметра - t:

с тем чтобы при изменении параметра t точка, координаты которой даются этими уравнениями, описывала рассматриваемую кривую (в случае явного задания (9) роль параметра играло само х).

Если для взятой точки кривой хоть одна из производных отлична от 0, то - как и в случае плоской кривой - легко в окрестности этой точки перейти от параметрического к явному заданию. Лишь в окрестности особой точки, где все эти производные — нули, нельзя гарантировать такую возможность.

Как и в случае плоской кривой, к числу особых следует отнести и так называемые кратные точки, т. е. точки, получаемые при двух или большем числе значений параметра.

Обратимся к параметрическому представлению поверхностей.

На этот раз определение положения точки на поверхности потребует двух параметров (в случае явного задания (6) роль этих параметров играли две из координат: х и у). Пусть имеем уравнения

где изменяется в замкнутой области А. Составим матрицу

и предположим, что для отличен от 0 хоть один из определителей этой матрицы; например, пусть

Тогда, переписав первые два из уравнений (13) в виде

на основании теоремы IV п° 208 можем утверждать, что этой системой двух уравнений с четырьмя переменными (если ограничиться значениями их, близкими к интересующим нас) переменные определяются, как однозначные функции от

непрерывные со своими производными. Наконец, подставляя эти выражения «иов третье из уравнений (13), придем к обычному представлению поверхности явным уравнением

где и функция непрерывна и имеет непрерывные производные.

Лишь в том случае, если все три определителя матрицы (14) одновременно обращаются в 0 (соответствующая точка поверхности будет особой), такое представление может оказаться неосуществимым,

Читателю ясно, что в связи с параметрическим представлением поверхности так же может быть установлено понятие о простой и кратной точках поверхности: первая получается лишь при одной системе значений параметров, а вторая, по меньшей мере, - при двух.

Возвращаясь к параметрическим уравнениям (13) поверхности, фиксируем в них значение одного из параметров, например, положим Тогда получатся, очевидно, уравнения некоторой кривой

всеми точками лежащей на поверхности. Изменяя значение получим целое семейство таких «кривых Аналогично, фиксируя значение получим также кривую на нашей поверхности

из таких «кривых также составляется целое семейство.

Так как значения и можно рассматривать как координаты точек на поверхности, то эти линии называют координатными линиями поверхности. Если точка поверхности простая, т. е. получается лишь при одной системе значений параметров, то через нее проходит по одной координатной линии из каждого семейства.

Обозревая различные способы аналитического представления поверхностей [см. (6), (7) и (13)] и пространственных кривых [(9), (10) и (12)], мы могли бы повторить сказанное в конце п° 223. В окрестности обыкновенной (и простой) точки дело сводится к наглядному случаю явного задания.

Рис. 127.