186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.

Аналогично дифференциалу функции от одной переменной [108] и полный дифференциал функции от нескольких переменных с успехом применяется в приближенных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть, например, мы имеем функцию причем, определяя значения х и у, мы допускаем погрешности, скажем, Тогда и значение и, вычисленное по неточным значениям аргументов,

также получится с погрешностью Речь идет об оценке этой погрешности, если известны оценки погрешностей

Заменяя (приближенно) приращение функции ее дифференциалом (что оправдано лишь при достаточно малых значениях получим

Здесь и погрешности и коэффициенты при них могут быть как положительными, так и отрицательными; заменяя те и другие их абсолютными величинами, придем к неравенству

Если через обозначить максимальные абсолютные погрешности (или границы для абсолютных погрешностей), то, можно, очевидно, принять

Приведем примеры.

1) Прежде всего, с помощью выведенных формул легко установить обычные в практике приближенных вычислений правила. Пусть так что заменяя дифференциалы приращениями, получим [см. (16)] или, переходя к границам погрешностей [см. (17)]:

Деля обе части этого равенства на придем к окончательной формуле

выражающей такое правило: (максимальная) относительная погрешность произведения равна сумме (максимальных) относительных погрешностей сомножителей.

Можно было бы поступить проще - сначала прологарифмировать формулу , а затем продифференцировать:

Если то по этому методу найдем У

переходя к абсолютным величинам и к максимальным погрешностям, мы получим снова формулу (18). Таким образом (максимальная) относительная погрешность частного равна сумме (максимальных) относительных погрешностей делимого и делителя.

2) Частое применение находит исчисление погрешностей в топографии, главным образом при вычислении не измеренных непосредственно элементов треугольника - по измеренным его элементам. Приведем примеры из этой области.

Пусть в прямоугольном треугольнике (рис. 103) катет и прилежащий угол измерены; второй же катет а вычисляется по формуле: . Как отражаются на значении а погрешности при измерении Ь и а?

Рис. 103.

Рис. 104.

Дифференцируя, получим

так что и

Пусть, например, измерения привели к результатам:

так что

Определяя по нашей формуле , положим в ней (ведь нужно выразить в радианах, а один радиан равен именно . Мы получим

так что, округляя, можно считать Итак,

3) Найдем погрешность при определении стороны а косоугольного треугольника (рис. 104) по формуле

Пользуясь результатами примера 5) п° 177, можно по формуле (17) сразу написать:

Из чертежа же имеем непосредственно:

где есть высота треугольника, опущенная из вершины А. Таким образом оказывается, что

по этой формуле легко судить о влиянии на отдельных погрешностей .