236. Особые точки плоских кривых.

Здесь мы остановимся подробнее на поведении кривой, заданной неявным уравнением

вблизи ее особой точки Не имея в виду исчерпать этот вопрос, мы хотим лишь познакомить читателя с главными типами

особых точек. При этом функцию мы предполагаем непрерывной и имеющей непрерывные производные первых двух порядков. Без умаления общности, можно считать это отвечает просто переносу начала координат в испытуемую точку. Итак, имеем

Введем обозначения

Предполагая, что из чисел хоть одно - не нуль, мы станем классифицировать представляющиеся возможности в зависимости от знака выражения Исследования настоящего п° теснейшим образом примыкают к исследованиям п° 197

В этом случае, как мы знаем, функция имеет в начальной точке экстремум. Значит, в достаточно малой окрестности этой точки или (исключая самую начальную точку, где функция обращается в 0). Иначе говоря, в упомянутой окрестности нет ни одной точки нашей кривой, кроме начальной: эта последняя оказывается изолированной точкой кривой.

Примеры, иллюстрирующие рассматриваемый случай:

Начальная точка принадлежит обеим кривым и для обеих является изолированной. Но, в то время как первая вся состоит из одной точки, вторая, кроме нее, содержит еще прямую не проходящую через начало.

Как и в 197, в окрестности начальной точки можно представить в следующем виде:

где

или, если ввести полярные координаты

В рассматриваемом случае, если предположить еще трехчлен имеет различные вещественные корни и разлагается на множители . Положим, так что . Теперь легко преобразовать первый трехчлен в скобках к виду

Отсюда становится ясным, что прямые, проведенные через начало под углами к оси будем для краткости называть их прямыми делят плоскость на две угловых области, в одной из которых упомянутый трехчлен сохраняет знак плюс, а в другой знак минус (рис. 136).

Заключим теперь прямые внутрь двух сколь угодно узких угловых областей - двух пар вертикальных углов, содержащихся, соответственно, между прямыми или (эти углы на рис. 132 заштрихованы). Взяв круг достаточно малого радиуса вокруг начала, можно утверждать, что - по выделении упомянутых углов - он разобьется на две угловых области, в каждой из которых уже сама функция сохраняет определенный знак: в одной плюс, а в другой минус (см. рис.). Действительно, так как при изменении угла вне промежутков трехчлен (18) не обращается в 0, то он остается по абсолютной величине большим некоторого положительного числа те. С другой стороны, при достаточно малом выражение по абсолютной величине будет меньше те. Отсюда и следует наше утверждение (ср. рассуждение в 197, 1°).

Рис. 136.

Рассмотрим теперь два заштрихованных вертикально расположенных сектора круга, например, те, которые ограничены прямыми Так как на этих прямых функция имеет противоположные знаки, то на каждой вертикали, пересекающей упомянутые секторы, найдется точка, в которой обращается в 0, т. е. точка нашей кривой. Это следует из известного свойства непрерывной функции [80], если применить его к функции от у (при фиксированном

Таким образом, внутри каждой пары заштрихованных секторов расположена ветвь кривой, проходящая через начало, в то время как вне их, в пределах круга, точек кривой нет. Ввиду произвольности ясно, что в начале эти ветви касаются, соответственно, прямых

Правда, остался открытым еще вопрос, единственна ли та точка на упомянутой вертикали, в которой Если бы их нашлось

две, то, по теореме Ролля [111], между ними на той же вертикали нашлась бы точка, в которой было бы Итак, единственность будет установлена, если мы докажем, что, по крайней мере, в достаточной близости к началу такое равенство невозможно.

Допустим противное. Тогда будем иметь для некоторой последовательности точек , где

Применим к функции формулу конечных приращений [183, (10)]:

или

Переходя здесь к пределу, получим окончательно или неверно: такое значение могло бы иметь лишь в том случае, если бы корни трехчлена были равными.

Из сказанного попутно вытекает, что, в достаточной близости к началу, ни одна точка упомянутых двух ветвей, кроме самой начальной, уже не будет особой.

Аналогично исчерпывается и случай, когда но или но отметим, лишь, что в последнем случае роль прямых играют оси координат.

Итак, при сделанном предположении точка оказывается двойной точкой кривой: в ней пересекаются две ветви кривой, каждая из которых в этой точке имеет свою касательную. Угловые коэффициенты этих касательных определяются всегда из уравнения лишь если следует считать, что, кроме конечного корня, оно имеет корнем и бесконечность. Примерами могут служить уже знакомые нам кривые

для которых начало и будет двойной точкой. В первом случае имеем так что касательными в начале служат биссектрисы координатных углов. Во втором: и касательными служат оси координат.

Допустим и здесь, что Квадратный трехчлен в этом случае имеет двойной корень Полагая, как и выше, проведем через начало прямую под этим углом и оси х. Заключим ее в угловую область между прямыми (на рис. 137 она заштрихована). С помощью соображений, сходных с примененными выше, можно установить, что вне заштрихованной области, но в достаточной близости к началу, функция сохраняет определенный знак, один и тот же с обеих сторон: плюс или минус, в зависимости от того, будет ли или Теперь на прямых функция имеет одинаковые знаки, и применять теорему Коши нельзя.

Рис. 137.

Мы не будем углубляться в исследование этого случая, требующего более сложных рассуждений, с привлечением высших производных. Ограничимся указанием на основные возможности, которые здесь представляются.

а) Вблизи начальной точки, кроме нее самой, нет точек кривой: изолированная точка (как в случае 1°).

Примеры:

Для обеих «кривых» начало является изолированной точкой.

б) В обоих заштрихованных вертикальных углах (в достаточной близости к началу) на каждой вертикали лежат по две точки нашей кривой, через начало проходят две ветви кривой, имеющие в ней общую касательную двойная точка (как и в случае 2°).

Пример:

две параболы, в начальной точке касающиеся оси х.

в) В одном из заштрихованных углов вовсе нет точек кривой, а в другом - две ветви, которые как бы заканчиваются в начальной точке, имея в ней общую касательную Здесь мы имеем дело с новым типом особой точки — с точкой возврата (или точкой заострения). В зависимости от того, лежат ли обе встречающиеся в ней ветви по разные стороны от общей касательной или по одну сторону, различают точки возврата первого и второго рода.

Примером кривой, имеющей в начале точку возврата первого рода, может служить кривая

(полукубическая парабола, рис. 115).

Более редкий случай точки возврата второго рода проиллюстрируем таким примером:

или

Обе ветви в начальной точке касаются оси х, располагаясь (по крайней мере, вблизи начала) над нею (рис. 138).

Рис. 138.

Если то приходится рассматривать производные высших порядков. В этом случае возможны и более сложные типы особых точек (тройные или, вообще, -кратные точки, и т. д.).