240. Характеристические точки.

С понятием огибающей тесно связано другое интересное геометрическое понятие - характеристических точек.

Возьмем одну из кривых семейства

определяемую значением а параметра. Придадим а некоторое приращение значению а параметра будет отвечать другая кривая семейства

«близкая» к первой.

Может случиться, что при достаточно малом обе кривые пересекаются в одной или в нескольких точках.

Рис. 147.

При стремлении к нулю эти точки пересечения будут каким-то образом перемещаться по первой кривой. Если при этом какая-либо из точек пересечения стремится к определенному предельному положению, то эту предельную точку называют характеристической точкой на исходной кривой (рис. 147). [Обращаем внимание читателя на то, что характеристическая точка связана не только с той кривой, на которой

лежит, но и со всем семейством. Говорить о характеристической точке для отдельно заданной кривой было бы лишено смысла.]

Точка пересечения упомянутых вьппе кривых должна удовлетворять системе уравнений

или равносильной ей системе

Устремив здесь к нулю, мы придем к уже знакомой нам системе (9):

которой, таким образом, при заданном а, и должны удовлетворять координаты характеристической точки.

Точнее говоря, если сохранить за х и у значения координат точки пересечения, то вместо (11) (применяя формулу Лагранжа) можно написать:

Если при координаты х, у имеют соответственно пределы X, у, то, переходя в написанных равенствах к пределу, ввиду непрерывности функций легко убедиться в том, что координаты х, у характеристической точки, действительно, удовлетворяют системе уравнений (9).

Допустим теперь, что характеристические точки существуют на каждой кривой семейства. Тогда можно поставить вопрос о геометрическом месте характеристических точек. Если это место представляет собой кривую вида (2), то функции фигурирующие в ее уравнениях, должны удовлетворять системе (9), а значит - получаться в числе решений этой системы относительно х, у. Точно так же все точки упомянутого геометрического места удовлетворяют и уравнению (10), т. е. это место необходимо входит в состав дискриминантной кривой.

Из сказанного ясно, что геометрическое место характеристических точек, если существует, представляет собой (полностью или по частям) либо огибающую, либо носительницу особых точек.

Легко убедиться в том, что в примерах 1), 2), 4), 5) предыдущего п° геометрическое место характеристических точек совпадает с огибающей. Это в некотором смысле, - общий случай. Но вот в примере 7) (а) это геометрическое место служит лишь носительницей особых точек, а в примерах 3) и 7) (б) вовсе нет пересечения между кривыми (хотя огибающая существует).