82. Теорема о промежуточном значении.

Доказанная в 80 теорема непосредственно обобщается следующим образом: Вторая теорема Больцано — Коши. Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке X (замкнутом или пет, конечном или же бесконечном). Если в двух точках этого промежутка функция принимает неравные значения

то, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка между а и что

Доказательство. Будем считать, например,

Рассмотрим в промежутке вспомогательную функцию . Эта функция непрерывна в промежутке и на концах его имеет разные знаки:

Тогда, по первой теореме Больцано - Коши, между а и найдется точка для которой т. е.

Мы установили, таким образом, важное свойство функции непрерывной в промежутке: переходя от одного своего значения к другому, функция хоть раз принимает, в качестве значения, каждое промежуточное число.

Иными словами это свойство можно выразить и так: значения, принимаемые непрерывной функцией когда х изменяется в каком-либо промежутке X, сами также заполняют сплошь некоторый промежуток

Действительно, пусть

и есть произвольное число между и М:

Необходимо найдутся значения функции взяты из промежутка X), такие, что

это вытекает из самого определения точных границ числового множества. Но тогда, по доказанной теореме, существует между такое значение (очевидно, также принадлежащее X), что в точности равно следовательно, это число входит в множество

Таким образом, представляет собой промежуток с концами и М (которые сами могут ему принадлежать или нет - смотря по случаю;

Мы видели в 71, 2°, что в случае монотонной функции упомянутое свойство, обратно, влечет за собой непрерывность. Однако не следует думать, что так будет всегда; легко построить заведомо разрывные функции, которые все же этим свойством обладают. Например, значения функции [70, 4)]:

когда х изменяется в каком-либо промежутке, содержащем точку разрыва заполняют сплошь промежуток