§ 5. Свойства непрерывных функций

80. Теорема об обращении функции в нуль.

Займемся теперь изучением основных свойств функции, непрерывной в некотором промежутке. Интересные и сами по себе, эти свойства в дальнейшем изложении часто будут служить основой для различных умозаключений.

Начнем со следующей простой теоремы, принадлежащей Больцано (В. Bolzano) и Коши (A. L. Cauchy).

Первая теорема Больцано—Коши. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между а и необходимо найдется точка с, в которой функция обращается в нуль:

Теорема имеет очень простой геометрический смысл: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси х на другую, то она пересекает эту ось (рис. 31).

Рис. 31.

I-е доказательство мы проведем по методу Больцано [41] - последовательным делением промежутка. Для определенности положим, что . Разделим промежуток пополам точкой Может случиться, что функция обратится в нуль в этой точке, тогда теорема доказана: можно положить Пусть же тогда на концах одного из промежутков функция будет принимать значения разных знаков (и притом отрицательное значение на левом конце и

положительное - на правом). Обозначив этот промежуток через имеем

Разделим пополам промежуток и снова отбросим тот случай, когда обращается в нуль в середине а - этого промежутка, ибо тогда теорема доказана. Обозначим через ту из половин промежутка, для которой

Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом либо мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки деления на точку, где функция обращается в нуль, - и доказательство теоремы завершится, - либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. Остановимся на этом последнем случае. Тогда для промежутка будем иметь

причем длина его, очевидно, равна

Построенная последовательность промежутков удовлетворяет условиям леммы о вложенных промежутках [38], ибо, ввиду (2), поэтому существует точка с из промежутка для которой

Покажем, что именно эта точка удовлетворяет требованию теоремы.

Переходя к пределу в неравенствах (1) и используя при этом непрерывность функции (в частности, в точке получим, что одновременно

так что, действительно, Теорема доказана.

Мы дадим ниже второе доказательство теоремы Коши, построенное на другой идее. Предпошлем ему следующее очевидное предположение:

Лемма. Если функция непрерывна в точке и значение отлично от для всех достаточно близких к значений х функция сохраняет тот же знак, какой она имеет в точке

Это вытекает из утверждения 2° в 55, I, причем в данном случае роль предела А функции (именно ввиду непрерывности) играет

II-е доказательство. Рассмотрим все те точки промежутка для которых . К их числу, например, относятся точка а и (в силу леммы) близлежащие к ней точки. Множество ограничено сверху числом Положим теперь мы утверждаем, что

Действительно, допустим противное; тогда либо либо Если бы было (тогда заведомо ибо нам дано, что то - по лемме - и правее с нашлись бы значения х, для которых а это противоречило бы определению с, как верхней границы для Если же было бы то - снова на основании леммы - имели бы и вблизи с слева, именно - в некотором достаточно малом промежутке , а тогда там вовсе не было бы значений х, что также невозможно, ибо с, по определению, есть точная верхняя граница для

Теорема доказана.

Заметим, что требование непрерывности функции в замкнутом промежутке существенно: функция, имеющая разрыв хоть в одной точке, может перейти от отрицательного значения к положительному и не обращаясь в 0. Так будет, например, с функцией которая нигде не принимает значения 0, хотя (скачок при ).