§ 2. Предел функции

52. Определение предела функции.

Рассмотрим числовое множество Точка а называется точкой сгущения этого множества, если в любой близости от а содержатся значения х из отличные от а.

Чтобы выразить это определение в более точных терминах, введём пегнятие окрестности точки а: так называется любой открытый промежуток с центром в точке а. Теперь можно сказать, что точка а будет точкой сгущения множества если в каждой её окрестности содержатся отличные от а значения х из

Сама точка сгущения при этом может принадлежать или нет.

Пусть в области для которой а является точкой сгущения, задана некоторая функция Представляет интерес поведение этой функции при приближении х к а. Говорят, что функция имеет пределом число А при стремлении х к а (или в точке а), если для каждого числа найдётся такое число , что

(где х взято из и отлично от а). Обозначают этот факт так:

Если область 9? такова, что в любой близости от а, но с а в а от а, найдутся отличные от а значения х из (в этом случае точку а называют правой точкой сгущения для ), то можно специализировать только что данное определение предела функции, ограничившись лишь значениями . В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции при стремлении х к а справа или, короче, пределом (в точке а) справа и обозначается символом

Аналогично устанавливается понятие о левой точке сгущения и о пределе функции при стремлении х к а слева или о пределе (в точке а) слева:

Если точка а является одновременно точкой сгущения для и правой, и левой, то, как легко установить, существования предела (2) необходимо и достаточно существование порознь и равенство пределов справа и слева:

При стремлении x к конечному пределу а функция может иметь и бесконечный предел. Именно, функция имеет пределом при стремлении х к а, если для каждого числа найдётся такое число 0, что

как и всегда, х взято из и отлично от а).

Запись этих фактов аналогична (2):

Для рассматриваемого случая могут быть повторены сделанные выше замечания относительно односторонних пределов справа и слева.

Если множество содержит сколь угодно рольшие абсолютной величине) положительные (отрицательные) значения х, то говорят, что является точкой сгущения для

В этом предположении: функция при стремлении имеет предел А, если, каково бы ни было число для него существует такое число что

(где х берется из При этом пишут:

Наконец, легко перефразировать всё сказанное на случай или

Сущность всех этих определений одна и та же: функция должна быть сколь угодно «близка» к своему пределу А, лишь только независимая переменная х достаточно «близка» к своему пределу а. Но переменная «близка» к своему конечному пределу, если разность между ними (по абсолютной величине) мала, а к бесконечному, если она сама (по абсолютной величине) велика и притом сохраняет знак предела.

Ясно, что числа во всех случаях зависят от

Заметим в заключение, что при стремлении функции к О её называют бесконечно малой; её называют бесконечно большой, если стремится к Если последнее обстоятельство имеет место при то говорят также, что в точке а функция обращается в бесконечность.