Сама точка сгущения при этом может принадлежать или нет.
Пусть в области для которой а является точкой сгущения, задана некоторая функция
Представляет интерес поведение этой функции при приближении х к а. Говорят, что функция
имеет пределом число А при стремлении х к а (или в точке а), если для каждого числа
найдётся такое число
, что
(где х взято из и отлично от а). Обозначают этот факт так:
Если область 9? такова, что в любой близости от а, но с
а в а от а, найдутся отличные от а значения х из
(в этом случае точку а называют правой точкой сгущения для
), то можно специализировать только что данное определение предела функции, ограничившись лишь значениями
. В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции
при стремлении х к а справа или, короче, пределом (в точке а) справа и обозначается символом
Аналогично устанавливается понятие о левой точке сгущения и о пределе функции при стремлении х к а слева или о пределе (в точке а) слева:
Если точка а является одновременно точкой сгущения для
и правой, и левой, то, как легко установить,
существования предела (2) необходимо и достаточно существование порознь и равенство пределов справа и слева:
При стремлении x к конечному пределу а функция может иметь и бесконечный предел. Именно, функция
имеет пределом
при стремлении х к а, если для каждого числа
найдётся такое число 0, что
как и всегда, х взято из и отлично от а).
Запись этих фактов аналогична (2):
Для рассматриваемого случая могут быть повторены сделанные выше замечания относительно односторонних пределов справа и слева.
Если множество
содержит сколь угодно рольшие
абсолютной величине) положительные (отрицательные) значения х, то говорят, что
является точкой сгущения для
В этом предположении: функция
при стремлении
имеет предел А, если, каково бы ни было число
для него существует такое число
что
(где х берется из
При этом пишут:
Наконец, легко перефразировать всё сказанное на случай
или
Сущность всех этих определений одна и та же: функция
должна быть сколь угодно «близка» к своему пределу А, лишь только независимая переменная х достаточно «близка» к своему пределу а. Но переменная «близка» к своему конечному пределу, если разность между ними (по абсолютной величине) мала, а к бесконечному, если она сама (по абсолютной величине) велика и притом сохраняет знак предела.
Ясно, что числа
во всех случаях зависят от
Заметим в заключение, что при стремлении функции
к О её называют бесконечно малой; её называют бесконечно большой, если
стремится к
Если последнее обстоятельство имеет место при
то говорят также, что в точке а функция обращается в бесконечность.