97. Простейшие правила вычисления производных.
В предыдущих 
мы вычислили производные для элементарных функций. Здесь и в следующем п° мы установим ряд простых правил, с помощью которых станет возможным вычисление производной для любой
функции, составленной из элементарных при посредстве конечного числа арифметических действий и суперпозиций [51].
I. Пусть функция 
имеет (в определенной точке 
производную и. Докажем, что и функция 
также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее.
Если независимая переменная х получит приращение 
то функция и получит приращение 
перейдя от исходного значения и к значению 
Новое значение функции у будет 
Отсюда 
и
Итак, производная существует и равна
Эта формула выражает такое правило: постоянный множитель может быть вынесен за знак производной.
II. Пусть функции 
имеют (в определенной точке) производные и, 
Докажем, что функция 
также имеет производную (в той же точке), и вычислим ее.
Придадим х приращение 
тогда и, 
и у получат, соответственно, приращения 
Их новые значения и 
связаны тем же соотношением:
Отсюда
и
так что производная у существует и равна
Этот результат легко может быть распространен на любое число слагаемых (и притом - тем же методом).
III. При тех же предположениях относительно функций и, 
докажем, что функция 
также имеет производную, и найдем ее.
Приращению 
отвечают, как и выше, приращения 
при этом 
так что
и
Так как при 
в силу 96, 2°, и 
, то
т. e. существует производная 
и равна
Если 
причем и, 
существуют, то
Легко сообразить, что для случая 
сомножителей будем иметь аналогично:
Для того чтобы доказать это, воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что формула (4) верна для некоторого числа 
сомножителей, и установим ее справедливость для и 
сомножителей:
если производную 
развернуть по формуле (4), то придем к формуле
совершенно аналогичной (4). Так как в верности формулы (4) при 
и 3 мы убедились непосредственно, то эта формула верна при любом 
IV. Наконец, если и, 
удовлетворяют прежним предположениям и, кроме того, 
отлично от нуля, то мы докажем, что функция 
также имеет производную, и найдем ее.
При тех же обозначениях, что и выше, имеем
так что
и
Устремляя здесь 
к нулю (причем одновременно и 
убеждаемся в существовании производной
