9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью.

Мы имеем в виду такое представление, при котором дробная часть (мантисса) положительна, в то время, как целая часть может оказаться как положительной, так и отрицательной или нулем.

Предположим сначала, что рассматриваемое вещественное число а не является ни целым числом, ни какой-либо конечной десятичной дробью. Станем искать его десятичные приближения. Если оно определяется сечением то прежде всего легко убедиться, что в классе А найдется целое число М, а в классе А - целое же число . Прибавляя к М по единице, необходимо придем к таким двум последовательным целым числам что

При этом число может оказаться положительным, отрицательным или нулем.

Далее если разделить промежуток между на десять равных частей числами

то а попадет в один (и только в один) из частичных промежутков, и мы придем к двум числам, разнящимся на для которых

Продолжая этот процесс дальше, после определения цифр мы цифру определим неравенствами

Таким образом, в процессе нахождения десятичных приближений числа а мы построили целое число и бесконечный ряд цифр Составленную из них бесконечную десятичную дробь, т. е. символ

можно рассматривать как представление вещественного числа а.

В исключенном случае, когда а само является целым числом или, вообще, конечной десятичной дробью, можно подобным же образом последовательно определить число и цифры исходя из более общих, чем (1), соотношений

Дело в том, что в некий момент число а совпадет с одним из концов промежутка, в который мы его заключаем, с левым или с правым - по нашему произволу; начиная с этого момента, соответственно, слева или справа в (1а) уже постоянно будет иметь место равенство. Смотря по тому, какая из этих возможностей осуществляется, последующие цифры окажутся все нулями или все девятками. Таким образом, на этот раз число а имеет двоякое представление - одно с нулём в периоде, а другое - с девяткой в периоде, например,

Пусть теперь, наоборот, по произволу задана бесконечная десятичная дробь (2); покажем, что всегда найдется вещественное число а, для которого именно эта дробь и служит представлением. С этой целью рассмотрим отрезки дроби (2)

которые служат как бы «приближенными значениями по недостатку» для искомого числа, а также его «приближенные значения по избытку»

Нетрудно видеть, что каждое меньше каждого (не только при но и при Теперь мы следующим образом произведем сечение в области рациональных чисел: к верхнему классу А отнесем такие рациональные числа а, которые больше всех (например, все числа ), а к нижнему А - все остальные (например, сами числа Легко проверить, что это - сечение; оно определяет вещественное число а, которое и будет искомым.

Действительно, так как а является пограничным числом между двумя классами, то, в частности,

т. е. число а удовлетворяет всем неравенствам вида (1а). Этим и доказано, что взятая по произволу дробь (2) является представлением найденного числа.

Разность между десятичными приближениями (4) и (3) по избытку и по недостатку, равная, с возрастанием может быть сделана меньшей любого рационального числа Действительно, так как натуральных чисел, не превосходящих числа существует лишь конечное число, то неравенство или равносильное ему:

может выполняться лишь для конечного числа значений для всех же остальных будет

Это замечание, ввиду леммы 2, позволяет заключить, что число отличное от а, не может удовлетворять всем тем же неравенствам (1) или (1а), что и а, и следовательно имеет представление в виде бесконечной десятичной дроби, отличное от представления числа а.

Отсюда, в частности, следует, что представление числа, не равного никакой конечной десятичной дроби, не имеет ни нуля, ни девятки в периоде - поскольку каждая дробь с нулем или с девяткой в периоде явно выражает конечную десятичную дробь.

Отныне читатель может представлять себе вещественные числа как бесконечные десятичные дроби. Из школьного курса известно, что периодическая бесконечная дробь изображает рациональное число и, обратно, каждое рациональное число разлагается именно в периодическую дробь. Таким образом, изображениями вновь введенных нами иррациональных чисел служат непериодические бесконечные дроби. (Это представление также может быть отправной точкой для построения теории иррациональных чисел.)

Замечание. В последующем нам не раз придется пользоваться рациональными приближениями к вещественному числу а:

разность которых произвольно мала. Для рационального а существование чисел очевидно; для иррационального же а в качестве а и можно было бы, например, использовать десятичные приближения при достаточно большом