84. Теорема об ограниченности функции.
Если функция 
определена (следовательно, принимает конечные значения) для всех значений х в некотором конечном промежутке, то это не влечёт за собой с необходимостью ограниченности функции,
т. е. ограниченности множества 
принимаемых ею значений. Например, пусть функция 
определена так:
Функция эта принимает только конечные значения, но она не ограничена, ибо при приближении х к 0 может принимать сколь угодно большие значения. Заметим попутно, что в полуоткрытом промежутке 
она непрерывна, но в точке 
имеет разрыв.
Иначе обстоит дело с функциями, непрерывными в замкнутом промежутке.
Первая теорема Вейерштрасса. Если функция 
определена и непрерывна в замкнутом промежутке 
то она ограничена, т. е. существуют такие постоянные и конечные числа 
и М, что
Доказательство поведем от противного: допустим, что функция 
при изменении х в промежутке 
оказывается неограниченной.
В таком случае для каждого натурального числа 
найдется в промежутке 
такое значение 
что
По лемме Больцано-Вейерштрасса [41], из последовательности 
можно извлечь частичную последовательность 
сходящуюся к конечному пределу:
причем, очевидно, 
Вследствие непрерывности функции в точке 
тогда должно быть и
а это невозможно, так как из (4) следует, что
Полученное противоречие и доказывает теорему.
