84. Теорема об ограниченности функции.

Если функция определена (следовательно, принимает конечные значения) для всех значений х в некотором конечном промежутке, то это не влечёт за собой с необходимостью ограниченности функции,

т. е. ограниченности множества принимаемых ею значений. Например, пусть функция определена так:

Функция эта принимает только конечные значения, но она не ограничена, ибо при приближении х к 0 может принимать сколь угодно большие значения. Заметим попутно, что в полуоткрытом промежутке она непрерывна, но в точке имеет разрыв.

Иначе обстоит дело с функциями, непрерывными в замкнутом промежутке.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке то она ограничена, т. е. существуют такие постоянные и конечные числа и М, что

Доказательство поведем от противного: допустим, что функция при изменении х в промежутке оказывается неограниченной.

В таком случае для каждого натурального числа найдется в промежутке такое значение что

По лемме Больцано-Вейерштрасса [41], из последовательности можно извлечь частичную последовательность сходящуюся к конечному пределу:

причем, очевидно, Вследствие непрерывности функции в точке тогда должно быть и

а это невозможно, так как из (4) следует, что

Полученное противоречие и доказывает теорему.