204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби).

Пусть имеется функций от переменных

причем, в свою очередь, переменные являются функциями от переменных

Предполагая в обоих случаях существование непрерывных частных производных, постараемся найти выражение для якобиана как функций от

В теории определителей устанавливается общая теорема об умножении матриц (для которой использованная выше теорема об умножении определителей является частным случаем). Рассмотрим две матрицы (таблицы)

Их произведением является квадратная матрица

элементы которой вычисляются по формулам

Соответствующий этой матрице определитель равен сумме

распространяющейся на всевозможные сочетания из значков .

Применив этот результат к функциональным матрицам (или матрицам Якоби)

мы получим

Если снова вспомнить формулу для производной сложной функции, то определитель в левой части этого равенства перепишется так:

В кратких обозначениях полученный результат имеет вид

где сумма распространяется на всевозможные сочетания из и значков по .

При доказанная формула переходит в известную формулу для дифференцирования сложной функции (через посредство нескольких промежуточных переменных):

и, таким образом, является ее обобщением.

Отметим частный случай нашей формулы, который получается при

Эта формула находит себе особенно частое применение.

Мы установили ряд формальных свойств якобианов, аналогичных свойствам обыкновенных производных; к ним примыкает и формула, которую мы выведем в одном из ближайших п° [210, 8)]. Но более глубокая аналогия между производными и якобианами обнаруживается по той роли, которую они играют в теории неявных функций (см. следующий §), и, особенно, в вопросе о замене переменных в двойных, тройных и, вообще, кратных интегралах (в третьем томе).